Question

Найти общие интегралы или общие решения дифференциальных уравнений 1.хуу'=1-х^2 2.y'=(y^2/x^2)-(y/x)

Answer 1

$1)\; \; xyy'=1-x^2\\\\xy\frac{dy}{dx}=1-x^2\\\\\int y\, dy=\int \frac{(1-x^2)dx}{x}\\\\\frac{y^2}{2}=\int (\frac{1}{x}-x)dx\\\\\frac{y^2}{2}=ln|x|-\frac{x^2}{2}+C$

$2)\; \; y'=\frac{y^2}{x^2}-\frac{y}{x}\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; y=tx\; ,\; y'=t'x+t\\\\t'x+t=t^2-t\\\\\frac{dt}{dx}x= t^2-2t\\\\\int \frac{dt}{t^2-2t}=\int \frac{dx}{x} \\\\\int \frac{dt}{(t-1)^2-1}=\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{1}{2}ln\left |\frac{t-1-1}{t-1+1}\right |=ln|x|+lnC_1\\\\ln\left |\frac{y-2x}{y}\right |=2ln|C_1x|\\\\\frac{y-2x}{y}=Cx^2\; ,\; \; C=C_1^2$