1. Решим первое неравенство этой системы:
![5 - 5x > 11](https://tex.z-dn.net/?f=5%20-%205x%20%3E%2011)
![-5x > 11 - 5](https://tex.z-dn.net/?f=-5x%20%3E%2011%20-%205)
![-5x > 6](https://tex.z-dn.net/?f=-5x%20%3E%206)
![x < -\dfrac{6}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3C%20-%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D)
Ответ: ![x \in \bigg(-\infty; -\dfrac{6}{5} \bigg)](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%5Cin%20%5Cbigg%28-%5Cinfty%3B%20-%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D%20%5Cbigg%29)
2. Дробь
существует, если
![(a-1)(4a+5) \neq 0\\ \\\left[\begin{array}{ccc}a-1\neq0 \ \\4a+5\neq0 \\ \end{array}\right \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}a\neq1 \ \ \ \\ a\neq -\dfrac{5}{4} \\ \end{array}\right](https://tex.z-dn.net/?f=%28a-1%29%284a%2B5%29%20%5Cneq%200%5C%5C%20%5C%5C%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da-1%5Cneq0%20%5C%20%5C%5C4a%2B5%5Cneq0%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%5Cneq1%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%5C%20a%5Cneq%20-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
Перед тем как выражать
, нужно рассмотреть случаи, когда дробь
положительная, а когда отрицательная:
- Если такая дробь положительная, то при нахождении переменной
знак неравенства меняться не будет (так как делим (умножаем) на положительное число):
![\dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)} > 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B2a-1%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%20%3E%200)
Решим неравенство методом интервалов.
а) ОДЗ: ![a\neq 1; \ a\neq -\dfrac{5}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=a%5Cneq%201%3B%20%5C%20a%5Cneq%20-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D)
б) Нуль неравенства: ![2a-1 \neq 0; \ a \neq \dfrac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=2a-1%20%5Cneq%200%3B%20%5C%20a%20%5Cneq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D)
в) Решением данного неравенства будет
.
При таких значениях параметра
знак неравенства меняться не будет:
![\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)} > 1 \ \ \ \ \bigg| : \dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%282a-1%29%283x%2B5%29%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%20%3E%201%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cbigg%7C%20%3A%20%5Cdfrac%7B2a-1%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D)
![3x+5 > \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%2B5%20%3E%20%5Cdfrac%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%7B2a-1%7D)
![3x > \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1} - 5](https://tex.z-dn.net/?f=3x%20%3E%20%5Cdfrac%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%7B2a-1%7D%20-%205)
![3x > \dfrac{4a^{2} + 5a - 4a - 5 - 5(2a-1)}{2a-1}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%20%3E%20%5Cdfrac%7B4a%5E%7B2%7D%20%2B%205a%20-%204a%20-%205%20-%205%282a-1%29%7D%7B2a-1%7D)
![3x > \dfrac{4a^{2} + a - 5 - 10a + 4}{2a - 1}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%20%3E%20%5Cdfrac%7B4a%5E%7B2%7D%20%2B%20a%20-%205%20-%2010a%20%2B%204%7D%7B2a%20-%201%7D)
![3x > \dfrac{4a^{2} - 9a}{2a-1} \ \ \ \ \ \ | : 3](https://tex.z-dn.net/?f=3x%20%3E%20%5Cdfrac%7B4a%5E%7B2%7D%20-%209a%7D%7B2a-1%7D%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%7C%20%3A%203)
![x > \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3E%20%5Cdfrac%7Ba%284a-9%29%7D%7B3%282a%20-%201%29%7D)
- Если такая дробь отрицательная, то при нахождении переменной
знак неравенства измениться на противоположный (так как делим (умножаем) на отрицательное число):
![\dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)} < 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B2a-1%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%20%3C%200)
Решим неравенство методом интервалов. Решением данного неравенства будет
.
При таких значениях параметра
знак неравенства изменится:
![\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)} > 1 \ \ \ \ \bigg| : \dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%282a-1%29%283x%2B5%29%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%20%3E%201%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cbigg%7C%20%3A%20%5Cdfrac%7B2a-1%7D%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D)
![3x+5 < \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%2B5%20%3C%20%5Cdfrac%7B%28a-1%29%284a%2B5%29%7D%7B2a-1%7D)
![x < \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%3C%20%5Cdfrac%7Ba%284a-9%29%7D%7B3%282a%20-%201%29%7D)
Ответ: если
, то
; если
, то
; если
и
, то неравенство не имеет решений.
3. Данная система неравенств решается в зависимости от значений параметра
, поэтому:
1) Рассмотрим случай, когда решение неравенств пересекается:
- Если
, то есть
, то в объединении с
получаем ![a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; - \dfrac{3}{4}\bigg) \cup \bigg(1; \dfrac{6}{5} \bigg)](https://tex.z-dn.net/?f=a%20%5Cin%20%5Cbigg%28-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%3B%20-%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cbigg%29%20%5Ccup%20%5Cbigg%281%3B%20%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D%20%5Cbigg%29)
при ![a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)](https://tex.z-dn.net/?f=a%20%5Cin%20%5Cbigg%28-%5Cinfty%3B%20-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%3B%20%5Cbigg%29%20%5Ccup%20%5Cbigg%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3B%201%20%5Cbigg%29)
- Если
, то есть
, то в объединении с
получаем, что таких
не существует, то есть такого варианта эта система не имеет.
2) Рассмотрим случай, когда решение неравенств не пересекается (когда система не имеет решений):
- Оставшийся промежуток является решением этого варианта:
![a \in \bigg[-\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg]\cup \bigg[\dfrac{6}{5}; + \infty \bigg) \cup \begin{Bmatrix} -\dfrac{5}{4}; 1 \end{Bmatrix}](https://tex.z-dn.net/?f=a%20%5Cin%20%5Cbigg%5B-%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D%3B%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cbigg%5D%5Ccup%20%5Cbigg%5B%5Cdfrac%7B6%7D%7B5%7D%3B%20%2B%20%5Cinfty%20%5Cbigg%29%20%5Ccup%20%5Cbegin%7BBmatrix%7D%20-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%3B%201%20%5Cend%7BBmatrix%7D)
Ответ: если
, то
; если
, то
; если
, то система не имеет решений.