1) Задание
Дана функция
![\displaystyle y=x^3-3x^2+1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%3Dx%5E3-3x%5E2%2B1)
найти промежутки возрастания и убывания
По признаку возрастания и убывания функции<span> на интервале:
если производная </span>функции<span> y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то </span>функция<span> возрастает на X;
если производная </span>функции<span> y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то </span>функция<span> убывает на X.
</span>
Найдем производную данной функции
![\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+1)`=3x^2-6x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%28x%29%3D%28x%5E3-3x%5E2%2B1%29%60%3D3x%5E2-6x)
найдем точки экстремума, точки в которых производная равна нулю
![\displaystyle y`(x)=0\\ 3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\x_1=0; x_2=2 ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%28x%29%3D0%5C%5C+3x%5E2-6x%3D0%5C%5C3x%28x-2%29%3D0%5C%5Cx_1%3D0%3B+x_2%3D2%0A%0A)
отметим точки на числовой прямой и проверим знак производной на промежутках
___+____-______+__
0 2
Значит на промежутках (-оо;0) ∪ (2;+оо) функция возрастает
на промежутке (0;2) функция убывает
точки х=0 точка минимума, х=2 точка максимума
<span>Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1].
Заметим, что х=2 точка максимума не входит в данный промежуток,
а х=0 принадлежит данному промежутку
Проверим значение функции в точке х=0 и на концах отрезка
</span>
![\displaystyle y(0)=0-0+1=1\\y(-2)=-8-12+1=-19\\y(1)=1-3+1=-1 ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%280%29%3D0-0%2B1%3D1%5C%5Cy%28-2%29%3D-8-12%2B1%3D-19%5C%5Cy%281%29%3D1-3%2B1%3D-1%0A%0A)
<span>
Значит наибольшее значение функции на отрезке [-2;1]
в точке х=0 и у(0)=1
значит наименьшее значение функции на отрезке [-2;1]
в точке х=-2 и у(-2)= -19
</span><span>2. Напишите уравнение к касательной к графику функции
f(x)=x^3-3x^2+2x+4 в точке с абсциссой x0=1.
</span><span>Уравнение касательной имеет вид
</span>
![\displaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)(x-x_0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y_%7Bkac%7D%3Dy%28x_0%29%2By%60%28x_0%29%28x-x_0%29)
<span>
найдем производную данной функции
</span>
![\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+2x+4)`=3x^2-6x+2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%60%28x%29%3D%28x%5E3-3x%5E2%2B2x%2B4%29%60%3D3x%5E2-6x%2B2)
<span>
найдем значение функции и производной в точке х=1
</span>
![\displaystyle y(1)=1-3+2+4=4\\y`(1)=3-6+2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y%281%29%3D1-3%2B2%2B4%3D4%5C%5Cy%60%281%29%3D3-6%2B2%3D-1)
<span>
подставим значения в уравнение касательной
</span>
![\displaystyle y_{kac}=4-1(x-1)=4-x+1=5-x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+y_%7Bkac%7D%3D4-1%28x-1%29%3D4-x%2B1%3D5-x)
<span>
</span>