Question

Может ли произведение 101 идущих подряд чисел не делиться на 51 (см.)?

Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться на 51,101,606,4386?

Answer 1

Конечно не может не делиться. 51 раскладывается на множители 3 и 17. Если мы напишем подряд даже 17 натуральных чисел, то одно из них делится на 17, и по крайней мере 5 из них делятся на 3, а значит произведение даже 17 стоящих подряд натуральных чисел делится на 51, не говоря уже о произведении 101 чисел.

Answer 2

Rafail начал, точно так же и с остальными числами.

Из 101 числа подряд хотя бы одно делится на 101, значит, и произведение делится.

Из 101 числа подряд хотя бы одно делится на 101 и минимум 16 делятся на 6. Поэтому произведение делится на 606=6*101.

4386 = 6*17*43. Из 101 числа подряд минимум 2 числа делятся на 43, 5 чисел делятся на 17 и 16 чисел делятся на 6.

Поэтому их произведение делится на 4386.

Answer 3

Деление на 51 требует деления на 3, и 17.То что 101 подряд идущие 101 чисел делится на 3, ни у кого вопроса не вызывает, потому что произведение трёх любых подряд идущих чисел делится на 3.Это определение.Что касается деления на 17, то это простое число не делится ни на какое, только на 17 и 1. Из любых идущих 101 подряд встретится 17к, 17к+17, 17к+34...числа, то есть несколько чисел , делящихся на 17.И этого достаточно:17х3=51.Значит и произведение 101 числа делится на 51.

Деление на 101.среди любых 101 чисел встретится число, равное 101хк,где к-любое натуральное число. Значит и произведение делится на 101.

Деление на 606.То, что 101 число точно делится на 101 доказано.А делимых на 2 и 3 множество чисел.Вот и произведение 101 чисел делится на 10х2х3=606.

Деление на 4386.4386=43х12=43х3х4.

Аналогично, делящихся на 43, и 3, 4 просто очень много среди 101 чисел.Поэтому и делится произведение любых 101 чисел на 4386.