Да, отец может это сделать, но на это потребуется некоторое время и расходы. Потому, что (строго по Закону) права у родителей абсолютно одинаковые. Просто .... практика сложилась такая. А практика, это ни разу не Закон. С ней можно и нужно работать.
Только грамотно работать, профессионально. А для для этого потребуется опытный юрист.
Первое, что он сделает, это добьётся возможности регулярных встреч отца и ребёнка. Есть есть дед и бабушка со стороны отца - и для них добьётся.
Следующий шаг - возможность забирать ребёнка к себе на выходные, праздники, каникулы. Для юриста и это несложно организовать.
Таким образом ребёнок сможет объективно сравнивать уровень жизни отца и матери. Если мать не работает, то, скорее всего, сравнение будет не в её пользу.
Далее, юрист поработает с органами опеки. Как именно, сказать не могу, вариантов очень много. Места не хватит всё перечислять. Цель работы - что бы опека на суде поддержала отца, а не мать.
Ну, и, наконец, в суд. С иском о передаче ребёнка отцу.
По такой схеме шансы на успех достаточно высокие.