Дробь равна 0, когда числитель =0, а знаменатель нет. Тогда
![\left \{ {{2sin^2x-3sinx+1=0} \atop {cos^2x-cosx\ne 0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2sin%5E2x-3sinx%2B1%3D0%7D+%5Catop+%7Bcos%5E2x-cosx%5Cne+0%7D%7D+%5Cright.+)
![1)\; sinx=t\; \to \; 2t^2-3t+1=0\\\\D=1,\; t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2},\; t_2=1\\\\sinx=\frac{1}{2},\; x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in Z\\\\sinx=1,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z](https://tex.z-dn.net/?f=1%29%5C%3B+sinx%3Dt%5C%3B+%5Cto+%5C%3B+2t%5E2-3t%2B1%3D0%5C%5C%5C%5CD%3D1%2C%5C%3B+t_1%3D%5Cfrac%7B3-1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%3B+t_2%3D1%5C%5C%5C%5Csinx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5C%3B+x%3D%28-1%29%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%2B%5Cpi+n%2C%5C%3B+n%5Cin+Z%5C%5C%5C%5Csinx%3D1%2C%5C%3B+x%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+k%2C%5C%3B+k%5Cin+Z)
![2)\; cosx(cosx-1)\ne 0\\\\cosx\ne 0,\; x\ne \frac{\pi}{2}+\pi m,\; m\in Z\\\\cosx\ne 1,\; x\ne 2\pi l,\; l\in Z](https://tex.z-dn.net/?f=2%29%5C%3B+cosx%28cosx-1%29%5Cne+0%5C%5C%5C%5Ccosx%5Cne+0%2C%5C%3B+x%5Cne+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B%5Cpi+m%2C%5C%3B+m%5Cin+Z%5C%5C%5C%5Ccosx%5Cne+1%2C%5C%3B+x%5Cne+2%5Cpi+l%2C%5C%3B+l%5Cin+Z)
Исключаем точки
![x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in Z](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cne+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B2%5Cpi+k%2C%5C%3B+k%5Cin+Z)
, так как они входят в решение
![x\ne \frac{\pi}{2}+\pi m](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cne+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2B%5Cpi+m)
.
Ответ:
sqrt(x+1) + 1 = sqrt((x-1)/x)
Возведем в квадрат:
x+1+1+2*sqrt(x+1) = (x-1)/x
x+2+2*sqrt(x+1) = 1 - 1/x
x+1+2*sqrt(x+1) = - 1/x
2*sqrt(x+1) = -1/x - x - 1
Снова возведем в квадрат:
4*(x+1) = (-1/x - x - 1)^2
4x + 4 = (1/x + x + 1)^2
4x + 4 = 1/x/x + x*x + 1 + 2 + 2/x + 2x
2x + 1 = 1/x/x + x*x + 2/x
2x + 1 - 1/x/x - x*x - 2/x = 0
Умножим все на x^2:
2x^3 + x^2 - 1 - x^4 - 2x = 0
x^4 -2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0
Так как x=0 не является корнем уравнения,
поделим его на x^2:
x^2 + 1/x^2 - 1 + 2/x - 2x = 0
(1/x - x)*(1/x - x) + 1 + 2/x - 2x = 0
Введем вспомогательную переменную t = 1/x - x
t*t + 1 + 2*t = 0
t*t + 2*t + 1 = 0
D=4-4 = 0
t = -2/2 = -1
Таким образом:
1/x - x = -1
1-x*x = -x
x*x - x - 1 = 0
D = 1+4 = 5
x1,2 = (1+-sqrt(5))/2
Теперь выполним подстановку в исходное уравнение и увидим, что подходит только один корень:
x = (1-sqrt(5))/2
Ответ правильный, проверено в программе Graph.
Замечание:
Некоторые требуют выполнить проверку без калькулятора и программ :)
Заметим, что в этой задаче x = -(золотое сечение). Как известно, (золотое сечение) = 1 - 1/(золотое сечение).
Поэтому:
(x-1)/x = 2-x =>
sqrt(x+1) - sqrt((x-1)/x) = sqrt(x+1) - sqrt(2-x) = -1;
sqrt(x+1) + 1 = sqrt(2-x);
Возведем в квадрат:
x + 1 + 1 + 2*sqrt(x+1) = 2 - x;
2x + 2*sqrt(x+1) = 0;
x + sqrt(x+1) = 0;
x = -sqrt(x+1);
Заметим, что x отрицателен.
Возведем в квадрат
x*x = x + 1;
x*x - x - 1 = 0;
Решим его и найдем, что x = (1-sqrt(5))/2.
Следовательно, x=(1-sqrt(5))/2 - корень исходного уравнения.
{x-y=1
{X+3y=9/ *-1
X-y=1
-x-3y=-9
![\frac{x-4}{x+5} \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx-4%7D%7Bx%2B5%7D+%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
Числитель меняет знак в точке x = 4
Знаменатель меняет знак в точке х = -5
Неравенство строгое
Метод интервалов
++++++++ (-5) ------------- (4) +++++++ >>> x
Ответ: x ∈ (-∞; -5) ∪ (4; +∞)
2х+3х+3у=11
5х+3у=11
х=1; у=2
3(х+2у)-у=27
3х+6у-у=27
3х+5у=27
у=3
х=4
7(х+3у)-6х=-59
х+21у=-59
у=-2
х=-17
4(х-у)-3х=23
х-4у=23
у=-5
х=3