Question

Помогите наити пределы функции Спс

Answer 1

$1) \lim_{x \to { \frac{ \pi }{2} }} \frac{1+2sinx}{3x+cosx}= \frac{1+2sin \frac{ \pi }{2} }{3\cdot \frac{ \pi }{2} +cos \frac{ \pi }{2} }= \frac{1+2\cdot1}{ \frac{3 \pi }{2}+0 }= \frac{2}{ \pi } \\ \\ 2) \lim_{x \to { \frac{ \pi }{4} }} \frac{cos2x}{cosx-sinx}= \frac{cos(2\cdot \frac{ \pi }{4} )}{cos \frac{ \pi }{4}-sin\frac{ \pi }{4} }= \frac{0}{ 0 }$
получили неопределенность, которую надо устранить, разложив числитель на множители
$\lim_{x \to { \frac{ \pi }{4} }} \frac{cos2x}{cosx-sinx}= \lim_{x \to { \frac{ \pi }{4} }} \frac{cos^{2}x-sin^{2}x }{cos x-sinx}= \\ \\ = \lim_{x \to { \frac{ \pi }{4} }} \frac{(cos-sinx)(cosx+sinx)}{cos x-sinx}= \lim_{x \to { \frac{ \pi }{4} }} (cosx+sinx)=cos \frac{ \pi }{4}+sin \frac{ \pi }{4}$
$= \frac{ \sqrt{2} }{2}+ \frac{ \sqrt{2} }{2}= \frac{2 \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}$