Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Выполните рисунки.

1) y = x²; y = x+2

2) y = -x²+4x; x = 2; y = 0

Answer 1

1) Искомая фигура ограничена прямой сверху и параболой снизу (как видно из рисунка) на отрезке [-1;2]
$S= \int\limits^2_{-1} {(x+2-x^2)} \, dx =( \frac{x^2}{2} +2x- \frac{x^3}{3})|_{-1} ^{2} =$
$=\frac{2^2}{2}+2*2 - \frac{2^3}{3} -( \frac{1^2}{2}-2*1 +\frac{1^3}{3})=2+4- \frac{8}{3}- \frac{1}{2}+2- \frac{1}{3}=4 \frac{1}{2}$ ед²
Ответ: S=4,5 ед²

2) Искомая фигура ограничена сверху параболой, снизу прямой, совпадающей с осью ОХ на отрезке [0;2]
$S= \int\limits^2_0 {(-x^2+4x-0)} \, dx=(- \frac{x^3}{3}+2x^2) |_{0}^{2} = -\frac{2^3}{3}+2*2^2+0-0=$
$=- \frac{-8}{3}+8=5 \frac{1}{3}$ ед²
Ответ: S=16/3 ед²