Question

найти площадь фигуры ограниченной линиями у=(3х+2)(1-х), у=0

Answer 1

У функции будут нули в точках $x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1$

Это и будет пределами интегрирования функции. Заметим, что фигурой будет часть параболы, у которой ветви направлены вниз. Часть параболы возвышается над осью ох.

 

$\int\limits_{-\frac{2}{3}}^{1}(3x+2)(1-x)dx=\int\limits_{-\frac{2}{3}}^{1}(x+2-3*x^2)dx=$

 

$=\int\limits_{-\frac{2}{3}}^{1}(x+2-3*x^2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x-x^3\right)|_{-\frac{2}{3}}^{1}=$

 

$\left(\frac{1^2}{2}+2*1-1^3\right)-\left(\frac{(-\frac{2}{3})^2}{2}+2*(-\frac{2}{3})-(-\frac{2}{3})^3\right)=$

 

$1,5-\left(\frac{2}{9}-\frac{4}{3}+\frac{8}{27})=$

 

$=1,5-(\frac{6}{27}-\frac{4}{3}+\frac{8}{27})=1,5-(\frac{14}{27}-\frac{4}{3})=1,5-(\frac{14}{27}-\frac{36}{27})$

 

$=1,5-(-\frac{22}{27})=1,5+\frac{44}{54}=1\frac{27}{54}+\frac{44}{54}=1\frac{71}{54}=2\frac{17}{54}$