Сделаем преобразование A = 67^7 = 67*67^6=67*(66+1)^6=
67*((66+1)^2)^3=67*(66^2+2*66+1)^3=67(66*(66+2) +1)^3=
67*(66*68+1)^3=
67*((66*68)^3 + 3*(66*68)^2 +3 *(66*68) + 1)=
66*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2 +3*68) + 67=
3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2 +3*68) + 67
A=A1+A2, A1=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2 +3*68) - кратно 3
A2=67
B=32^8=(33-1)^8=((33-1)^2)^4=(33^2-2*33+1)^4=(33(33-2)+1)^4=
(33*31+1)^4=((33*31+1)^2)^2=((33*31)^2+2*33*31+1)^2=
((33*31)(33*31+2)+1)^2=(33*31)^2*(33*31+2)^2+2*33*31*(33*31+2)+1=
3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2)+1
B=B1+B2
B1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2) - кратно 3
B2=1
C=67^7-32^8 = A-B=A1+A2-B1-B2=(A1-B1)+(A2-B2)
A1-B1=кратно 3, A2-B2=67-1=66=3*22 - кратно 3
т.о. исходное выражение кратно 3
можно решить менее громоздко, если сделать замену переменных
М=66*68, и N=33*31, которые кратны трем, но так нагляднее.
1)
y^2=x-6=7-6=1 y=1
x*(x-6)=7 x^2-6x-7=0 x1=6+8/2=7 x2=6-8/2=-1 ∉
проверка
7-1=6 верно
7*1=7 верно
2)y^2=x-1=4-1=3 y=sqrt(3)
x*(x-1)=12 x^2-x-12=0 x1=1+7/2=4 x2=1-7/2=-3 ∉
проверка
3+1=4 4=4 верно
4*3=12 12=12 верно
3)
x^2=58-y^2=58-9=49 x=sqrt(49)=7
58-y^2-y^2=40
-2y^2=40-58
y=sqrt(18/2)-sqrt(9)=3
проверка
49+9=58 58=58 верно
49-9=40 40=40 верно
4) не видно,но делаешь по такому-же принципу:выражаешь неизвестную через другую,вставляешь в уравнение и решаешь.
Это квадратное уравнение относительно х, если b ≠ 0
bx² + (2b+3)x + b-1 = 0
D = 4b² + 12b + 9 - 4b² + 4b = 16b + 9
D ≥ 0, b ≥ -9/16
√D = √(16b+9)
x1 = (-2b-3-√(16b+9))/(2b)
x2 = (-2b-3+√(16b+9))/(2b)
Если b = 0 получим:
3x - 1 = 0
x = 1/3
При b < -9/16 уравнение не имеет решений