Question

Назовём натуральное число k олимпиадным, если у него есть два раз- личных натуральных делителя a и b на одинаковом расстоянии от числа k/3 (то есть |a−k/3| = |b−k/3|). Сколько существует олимпиадных чисел, не превосходящих 2018?

Answer 1

Подставим в равенство

$|a-\frac{k}{3}|=|b-\frac{k}{3}|$

выражение $k=a\cdot b$

Тогда получим:

$a\cdot|3-b|=b\cdot|3-a|,$

и, поскольку a и b разные числа, то

$a\cdot(b-3)=b\cdot(3-a);\\2ab-3a-3b=0;\\b=\-\frac{3a}{2a-3};\\a=2,b=6;\,\,a=3,b=3;\\k=12,\,k=9$

То есть, существует только два таких числа: 9 и 12