Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е.
![4x-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=4x-1%3D0)
откуда
![x= \frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+)
и
![\ln (x^2-2x+2-a^2)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln+%28x%5E2-2x%2B2-a%5E2%29%3D0)
![\ln(x^2-2x+2-a^2)=\ln 1\\ x^2-2x+2-a^2=1\\ x^2-2x+1-a^2=0\\ (x-1)^2-a^2=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28x%5E2-2x%2B2-a%5E2%29%3D%5Cln+1%5C%5C+x%5E2-2x%2B2-a%5E2%3D1%5C%5C+x%5E2-2x%2B1-a%5E2%3D0%5C%5C+%28x-1%29%5E2-a%5E2%3D0)
Пользуясь формулой сокращенного умножения
![a^2-b^2=(a-b)(a+b)](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2-b%5E2%3D%28a-b%29%28a%2Bb%29)
, получим
![(x-1-a)(x-1+a)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-1-a%29%28x-1%2Ba%29%3D0)
откуда
![x_{1,2}=1\pm a](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%2C2%7D%3D1%5Cpm+a+)
Вычислим ОДЗ уравнения.
1) Подкоренное выражение принимает неотрицательные значения, т.е.
![4x-1 \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=4x-1+%5Cgeq+0)
откуда
![x \geq \frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cgeq++%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+)
.
2) Под логарифмическое выражение больше нуля, т.е.
![x^2-2x+2-a^2\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-2x%2B2-a%5E2%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
Видим, что корень
![x= \frac{1}{4} \in [0;1]](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cin+%5B0%3B1%5D)
и принадлежит ОДЗ. Также две другие корни пусть не удовлетворяют ОДЗ при
![x \geq \frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cgeq++%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+)
, т.е.
![\left[\begin{array}{ccc}a+1\ \textless \ \frac{1}{4} \\ 1-a\ \textless \ \frac{1}{4} \end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}a\ \textless \ -\frac{3}{4} \\a\ \textgreater \ \frac{3}{4} \end{array}\right](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%2B1%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5C%5C+1-a%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5CRightarrow+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Da%5C+%5Ctextless+%5C+-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%5C%5Ca%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
Подставив х=1/4 в ОДЗ под логарифмического выражения, получаем
![-a^2+ \frac{25}{16} \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=-a%5E2%2B+%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D+%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
откуда
![-\frac{5}{4} \ \textless \ a\ \textless \ \frac{5}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5C+%5Ctextless+%5C+a%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+)
Общее решение
![\displaystyle \left \{ {{a \in (-\infty;-\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4} ;+\infty) } \atop {-\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{5}{4} }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba+%5Cin+%28-%5Cinfty%3B-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%29%5Ccup%28%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%3B%2B%5Cinfty%29+%7D+%5Catop+%7B-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5Cleq+a+%5Cleq+%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D++%7D%7D+%5Cright.+)
есть промежуток
![a \in (-\frac{5}{4} ;-\frac{3}{4} )\cup(\frac{3}{4} ;\frac{5}{4} )](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%28-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%3B-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%29%5Ccup%28%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D+%3B%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+%29)
Проверим при а=±3/4. Если а=±3/4, то корни уравнения будут
![x_1=0.25\in[0;1]](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D0.25%5Cin%5B0%3B1%5D)
и
![x_2=1.75\notin[0;1].](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D1.75%5Cnotin%5B0%3B1%5D.)
Уравнение имеет единственное решение на отрезке [0;1] при
![a \in \bigg(-\dfrac{5}{4} ;-\dfrac{3}{4} \bigg]\cup\bigg[\dfrac{3}{4} ;\dfrac{5}{4} \bigg).](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%5Cbigg%28-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D+%3B-%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D+%5Cbigg%5D%5Ccup%5Cbigg%5B%5Cdfrac%7B3%7D%7B4%7D+%3B%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D+%5Cbigg%29.)