Question

Решите предел функции, пожалуйста

Answer 1

Неопределённость 0/0 раскрываем с помощью первого замечательного предела, к которому постепенно преобразовываем выражение. Сначала выделяем множитель косинус, он стремится к 1. Затем производим деление на икс. В первом отношении для замечательного предела не хватает в знаменатели 9, поэтому умножаем числитель и знаменатель на 9. Один замечательный предел появился. Во втором отношении степень 7 разбиваем на произведение первой степени на шестую. И синус первой степени относим к иксу, предел чего равен 1 (опять замечательный предел). Но тут единичка умножается на предел синуса, аргумент которого стремится к нулю, а значит и сам синус.

$\lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x-sin^{7}x}{xcos4x} =\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{cos4x}* \lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x-sin^{7}x}{x} = \\ \\ =1* ( \lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x}{x} - \lim_{x \to \inft0} \frac{sin^{7}x}{x} )= \\ \\ \lim_{x \to \inft0} \frac{9sin9x}{9x} - \lim_{x \to \inft0} \frac{sinx*sin^{6}x}{x} = \\ \\ 9 - \lim_{x \to \inft0} \frac{sinx}{x} *\lim_{x \to \inft0} sin^{6}x=9-1*0=9$