Question

Помогите пожалуйста решить!!!для функции у=f(x) найдите первообразную, график которой проходит через начало координат1) f(x)=(1-

Помогите пожалуйста решить!!!
для функции у=f(x) найдите первообразную, график которой проходит через начало координат
1) f(x)=(1-x)(3+x)
2) f(x)=x^2/3+sin(x+П/3)
3)f(x)=-x^3/2+cos(x-П/6)

Answer 1

Так как график функции должен проходить через начало координат, то есть через точку (0,0), то в первообразную будем подставлять значения х=0 и у=F(x)=0 и находить значение постоянной С.
  
$1)F(x)=\int\frac{1-x}{3+x}dx=-\int {\frac{x-1}{x+3}dx=-\int(1-\frac{4}{x+3})dx=$
$=-x+4ln|x+3|+C,\\0=4ln3+C, C=-4ln3\\F(x)=-x+\frac{4}{x+3}-4ln3\\2)F(x)=\int (\frac{x^2}{3}+sin(x+\frac{\pi}{3}))dx=\frac{2x}{3}-cos(x+\frac{\pi}{3})+C\\0=-cos\frac{\pi}{3}+C, C=cos\frac{\pi}{3}=0,5\\F(x)=\frac{2x}{3}-cos(x+\frac{\pi}{3})+0,5\\3)F(x)=\int (\frac{x^3}{2}+cos(x-\frac{\pi}{6}))dx=\frac{3x^2}{2}+sin(x-\frac{\pi}{6})+C\\0=sin(-\frac{\pi}{6})+C, C=-sin(-\frac{\pi}{6})=sin\frac{\pi}{6}=0,5\\F(x)=\frac{3x^2}{2}+sin(x-\frac{\pi}{6})+0,5$