Question

Квадратный трехчлен ax^2+bx+c при x=1 принимает свое наибольшее значение 3 а при x = -1 равен нулю. Найдите значение квадратного трехчлена при x=5
СРОЧНО УМОЛЯЮ

Answer 1

Y(x) =ax² +bx+c =a (x+b/2a)² - (b² -4ac) / 4a .
квадратный трехчлен  принимает свое наибольшее значение (при a<0) ,
если  x = -b/2a  ; y max =  - (b² -4ac) / 4a.   
Учитывая еще условие  y(-1)=0  ( x = -1 корень)   можем написать систему уравнений :
{ -b/2a = 1 ;  - (b² -4ac) / 4a =3 ; a(-1)² +b(-1) +c =0 .⇔
{  b = -2a ;  -( (-2a)² -4ac) /4a =3 ;  a +2a +c =0 .⇔
{  b = -2a ; c -a =3 ;  c  = -3a ⇔ {  b = -2a ; -3a -a =3 ;  c  = -3a ⇔
{  b = 3/2  ; a = - 3/4 ;  c  = 9/4 .
 y = -(3/4)x² + (3/2)x  +9/4 .      ||  (-3/4) (x² -2x -3)   корни  x₁= -1 ;  x₂ =3 ||   
Значение квадратного трехчлена при x=5   будет :
y(5) = -(3/4)*5² +(3/2)*5 +9/4 =( -3/4) (25 -10- 3) = (-3/4)*12 = -9.

ответ : - 9 .

Answer 2

По условию точка (1;3) - вершина параболы, прямая x=1 является ее осью симметрии⇒раз x_1= - 1 является корнем, то и симметричная относительно этой оси точка x_2= 3 тоже является корнем.
А тогда по теореме Безу функция может быть записана в виде
y=a(x-x_1)(x-x_2), то есть y=a(x^2-2x-3).
Значение a найдем из условия y(1)=3:
a(1-2-3)=3; a=-3/4; y= - 3/4(x^2-2x-3). Отсюда

y(5)= - 3/4(25-10-3)= (- 3/4)·12= - 9

Ответ: -9