"На ноль делить нельзя!" есть формулировка действительно детская. Того же стиля, что и требование "С огнём нельзя играть!" или "Мойте руки перед едой!" Это готовый вывод, оформленный в виде лозунга, и не более того (что, разумеется, не делает такие лозунги неверными).
Если ж формулировать эти правила строго, а не в виде окончательного и бесповоротного приговора-лозунга, то делить на ноль не "нельзя", а - бессмысленно. Не получается однозначного результата. Меж тем весь смысл арифметических операций - получить какой-то вразумительный результат. Однозначный и проверяемый.
При вычитании хоть нуля, хоть любого числа из другого числа такая проверка возможна, и однозначность результата гарантирована. Если из 5 вычесть 3, как тут уже пытались, то получится 2 при любых условиях. И это легко проверить, проведя обратную операцию: к 2 прибавить 3. К разности прибавить вычитаемое. Это делается в соответствиями с чёткими правилами выполнения арифметических операций, в том числе и с чёткими ФОРМАЛИЗОВАННЫМИ (в курсе формальной арифметики) правилами.
С умножением и делением точно так же требуется однозначность и обратимость операции. Если 5х3=15, то можно однозначно сказать, что будет результатом обратной операции - деления 15 на 3 (или на 5).
Но вот если один из сомножителей равен 0, то взаимной обратимости операции уже нет. Если 5х0=0 и 3х0=0 - то каким будет результат обратной операции, результат проверки? Три? Пять? Пятнадцать? Да каким угодно. Меж тем, как уже сказано, для всякой операции вводится требование обратимости. И раз обратимости нет, то такая операция - "незаконная". То есть это не то что "нельзя", а - против правил. Как и игра с огнём или грязные руки за обедом. Результат и там, и там непредсказуем.
Деление на 0 - не единственная такая операция. Скажем, нельзя взять натуральный логарифм от отрицательного числа. Вот нельзя, и всё тут (во всяком случае, оставаясь в пределах действительных числел; но и даже для комплексных чисел - всё равно не от всякого отрицательного сушествует логарифм). Ровно по той же причине: не удастся проверить, не удастся выполнить обратную операцию - потенцирование. В какую бы самую замысловатую степень ни возводить число е, будет получаться только положительное число - но не отрицательное.
В математике, где рассматриваются не числа, а функции, появляется интересная возможность: раскрытие неопределённостей. Но тут важно понимать, что делится не ноль на ноль (строго), а нечто, что можеть быть "почти как ноль": бесконечно малая величина. Тогда для некоторых важных случаев можно ВЫБРАТЬ результат деления на ноль (но именно нуля на ноль, а не чего-то ещё!) исходя из некоторых "удобств". Например, функция sinx/x - как раз из таких. При х=0 получаем деление нуля на ноль, что формально не даёт никакого осмысленного результата. Но если ПОСТУЛИРОВАТЬ, что sin0/0=1, то функция в точке х=0 оказывается непрерывной и гладкой (т. е. непрерывно дифференцируемой), что очень даже удобно и логично. По этой же причине ПОСТУЛИРУЕТСЯ, что 0 в нулевой степени равен 1. Ну натурально: 0 в любой положительной степени будет 0, в любой отрицательной - фигня, потому что это опять "деление на 0", ну а в нулевой? Оказывается, что определение 0°=1 опять же удобно, потому что функция х°=1 в этой точке становится непрерывной и непрерывно дифференцируемой.
