Question

Если /_A, /_B, /_C, и /_D - внутренние углы выпуклого четырехугольника ABCD и /_A =80 градусов, /_B =160 градусов и ctg /_C = 1/

3, то ctg /_D равен?

Answer 1

Попробую. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.

 

В данном случае

 

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ$

 

Подставим известные значения

 

$80^\circ+160^\circ+\angle C+\angle D=360^\circ$

 

Упростим это выражение

 

$\angle C+\angle D=360^\circ-80^\circ-160^\circ$

 

$\angle C+\angle D=120^\circ$

 

От обеих частей уравнения возьмем котангенс

 

$\cot(\angle C+\angle D)=\cot(120^\circ)$

 

Заметим, что

 

$\cot(120^\circ)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

 

Тогда уравнение преобразуется

 

$\cot(\angle C+\angle D)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Воспользуемся известной формулой для котангенсов

 

$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$

 

Тогда получим

$\frac{\cot\angle C\cot\angle D-1}{\cot\angle C+\cot\angle D}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

По условию задачи известно, что $\cot\angle C=\frac{1}{3}$

 

Подставим в последнюю формулу

 

$\frac{\frac{1}{3}\cot\angle D-1}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Умножим обе части на $-\sqrt{3}$. Получаем

 

$-\sqrt{3}\frac{\frac{1}{3}\cot\angle D-1}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=1$

 

Умножим числитель дроби в левой части на -1

 

$\sqrt{3}\frac{1-\frac{1}{3}\cot\angle D}{\frac{1}{3}+\cot\angle D}=1$

 

Умножим обе части на $\frac{1}{3}+\cot\angle D.$

 

$\sqrt{3}*(1-\frac{1}{3}\cot\angle D)=\frac{1}{3}+\cot\angle D$

 

$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cot\angle D=\frac{1}{3}+\cot\angle D$

 

Перенесем неизвестные вправо, свободные члены влево.

 

$\sqrt{3}-\frac{1}{3}=\cot\angle D+\frac{\sqrt{3}}{3}\cot\angle D$

 

Умножим обе части на 3.

$3\sqrt{3}-1=3\cot\angle D+\sqrt{3}\cot\angle D$

 

Или

 

$3\cot\angle D+\sqrt{3}\cot\angle D=3\sqrt{3}-1$

 

$\cot\angle D*(3+\sqrt{3})=3\sqrt{3}-1$

 

$\cot\angle D=\frac{3\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}$

 

Если избавиться от иррациональности в знаменателе, то можно получить следующее

 

$\frac{3\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{3}-1)*(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})*(3-\sqrt{3})}=$

 

$\frac{9\sqrt{3}-3-9+\sqrt{3}}{3^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{10\sqrt{3}-12}{9-3}=$

 

$=\frac{10\sqrt{3}-12}{6}$

 

Ответ:  $\cot\angle D=\frac{10\sqrt{3}-12}{6}$