Ответ:
Классификация асимптот
Вертикальные асимптоты.
Горизонтальные асимптоты.
Наклонные асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.
Вертикальные асимптоты
Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности (+∞ или -∞).
Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.
ПРИМЕР 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .
Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты
Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.
Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .
ПРИМЕР 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .
Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.
Наклонные асимптоты
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты или (1)
Разделим обе части этого равенства на x: , откуда
(2)
Теперь из (1):
(3)
Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).
ПРИМЕР 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .
Решение. По формуле (2) найдем .
Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.
ПРИМЕР 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)2(x+3).
Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:
.
Таким образом, кривая асимптот не имеет.
ПРИМЕР 6. Найти асимптоты кривой .
Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).
ПРИМЕР 7. Построить все виды асимптот к функции
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
Находим коэффициент k:
Находим коэффициент b:
Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
Находим переделы в точке
- является вертикальной асимптотой.
Находим переделы в точке
- является вертикальной асимптотой.
Объяснение:
Вот
