Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой x₀=<span>-1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку M(0;-2).
</span>------------
f(x) =0,25(x²+6x+1) ; x₀ =-1. * * *f(x) =0,25(x²+6x+9 -8) = -2+0,25(x+3)² * * *
---
Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀
имеет вид :
y =f(x₀) + f '(x₀)*(x - x₀) ;
f(x₀) =0,25(x₀²+6x₀+1) = 0,25( (-1)² +6*(-1) +1 ) = -1
f '(x) = (0,25(x²+6x+1) ) ' = 0,25(2x+6) =0,5(x+3).
f '(x₀) = 0,5(x₀+3) = 0,5( -1+3) = 1 .
y = - 1+1(x -(-1)) ⇔ y = x.
* * * y =0,25(x₀²+6x₀+1) + 0,5(x₀+3) (x - x₀) * * *
* * * одна сторона треугольника лежит на прямой y = x * * *
Составим уравнения других касательных , они проходят через точку M (0 ; -2)_она одна из вершин треугольника) : y= kx - 2
* * * . y-(-2) =k*(x - 0) * * *
kx -2 = 0,25(x²+6x+1) ⇔4kx-8 =x²+6x+1 ⇔x²-2(k-3)x+9=0 .
D/4 =(k-3)²- 9 = 0⇒ [ k =3 ; k=0 , т.е. y =3x - 2 и y = - 2.
* * * y=- 2 проходит через вершину G(-3 ; -2) параболы y = -2 + 0,25(x+3)²
(точка минимума , где производная f '(x₁)= 0 * * *
Определили_стороны лежать на прямые y =x ; y = 3x - 2 и y = - 2.
* * * k =1; k =3 ; k =0 ⇒ линии не параллельны , они пересекаются и определяют вершины треугольника * * *
A(1 ;1) ; B(-2 ;-2) ; C(0 ;-2) .
Площадь можно определить разными способами , но здесь просто
BС | | OX ⇒ S =(1/2)* |BC| *h =(1/2)*2*3 = 3.
<span>
ответ: 3.
----------------------</span>
уравнения касательных можно было получить по другому :
y = 0,25(x₁²+6x₁+1) + 0,5(x₁+3) (x -x₁) ; k =0,5(x₁+3)
эта касательные проходит через точку M(0,-2) , поэтому :
- 2 = 0,25(x₁²+6x₁+1) +0,5(x₁+3)(0 -x₁) ;
- 8 = x₁² + 6x₁+1 - 2x₁² - 6x₁ ;
x₁² -9 =0 ⇒ [ x₁=3 , x₁=-3 ; ⇒ соответственно [ k₁ =3 ; k₁ =0 .
--------
|x₁-x₂ y₁-y₂ |
S = (1/2) | |
|x₂ -x₃ y₂- y₃|
<span> y=2x^2+3x-5 x=0 y=-5
корни D=9+40=49 </span>√D=7 x1=1/4[-3+7]=1 x2=1/4[-3-7]=-2.5
ось симметрии x0=-b/2a=-3/4 иначе x0=(1/2-2.5)/2=-3/4=-0.75
третий способ y'=4x+3=0 x=-3/4
y(-3/4)=2*9/16-3*3/4-5=9/8-18/8-40/8=-49/8=-6.125
убывает до х=-0,75 и потом возрастает.
sin^2(a)=1-cos^2(a)=1-9/25=16/25
sina=4/5 если П/2<a<П
sina=-4/5 если П<a<3/2П
