Question

Упростите выражение. Прошу помогите

Answer 1

$( \frac{x+2}{ x^{2} +1*x+(-2)}- \frac{x+1}{ x^{2} +3x-(-2)}) * \frac{ x^{2} -1}{3x+3} = (\frac{x+2}{ x^{2} +3x+2}- \frac{x+1}{ x^{2} -x+3} )* \frac{ x^{2} -1}{3x+3}$

Разобьем все многочлены, содержащие x в квадрате на множители вида $(x-x_1)(x-x_2)$, для этого найдем корни уравнений и подставим в формулу (все корни нахожу по теореме Виета).

$1)x^{2} +x-2=(x-1)(x+2) \\ \left \{ {{x_1+x_2=-1} \atop {x_1*x_2=-2}} \right. \left \{ {{x_1=-2} \atop {x_2=1}} \right.$
$2) x^{2} +3x+2=(x+2)(x+1) \\ \left \{ {{x_1+x_2=-3} \atop {x_1*x_2=2}} \right. \left \{ {{x_=-2} \atop {x_2=-1}} \right.$
$3) x^{2} -1=(x-1)(x+1)$
$4) 3x+3=3(x+1)$

Таким образом, получаем:
$( \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} - \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}) * \frac{(x-1)(x+1)}{3(x+1)}$

Сокращаем одинаковые скобки в числителях и знаменателях и получаем:
$(\frac{1}{(x-1)} - \frac{1}{(x+2)}) * \frac{x-1}{3} = \frac{x+2-(x-1)}{(x+2)(x-1)}* \frac{x-1}{3} = \frac{(x+2-x+1)(x-1)}{3(x+2)(x-1)} = \frac{3}{3(x+2)}= \\= \frac{1}{x+2}$