Question

Найдите наименьшее значение функции f(x) = x^3 * (3x+4) - 12(x^2+1) на отрезке [-1;2]

Answer 1

Найдём производную функции:
$f(x) = x^3*(3x+4) - 12(x^2+1) \\ f'(x) = 12x^2(x+1) - 24x = 12x(x^2+x - 2)$

Находим нули производной:
$12x(x^2+x-2) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = -2$

Наносим наши нули на числовую прямую:
----------- -2 -------- 0 ---------- 1 --------- >

Подставляя числа из промежутка в производную находим, в каких промежутках производная отрицательна, а в каких положительна. Отмечаем знаками на числовой прямой:
------ --- ----- -2 --- +++ -- 0 ----- --- ---- 1 --- +++ ---- >
Получается, что x = 1 - точка минимума.
Осталось сравнить f(1), f(-1). (f(2) не проверяем, ведь оно больше f(-1))
f(1) =  -17
f(-1) =  -25

Ответ: -25