Question

5 sin² x+3 sin x cos x - 3 cos² x= 2

Answer 1

Обе части уравнения делим на косинус в квадрате. Отношение синуса к косинусу равно тангенсу, а дробь единица деленная на косинус в квадрате равна сумме тангенса в квадрате и единицы. Получаем:
$5 tg^{2}x+3tgx-3=2( tg^{2}x+1)$
раскрываем скобки, приводим подобные:
$3 tg^{2}x+3tgx-5=0,$
сделаем замену: tg x = y.
$3 y^{2}+3y-5=0.$
Решаем через дискриминант: Д=9+60=69 - два корня.
$y_{1} = \frac{-3- \sqrt{69} }{6}$,
$y_{2} = \frac{-3+ \sqrt{69} }{6}$.
Найдем теперь х:
$tg x_{1}=y_{1} = \frac{-3- \sqrt{69} }{6}$
$x_{1} =arctg(\frac{-3- \sqrt{69} }{6})+ \pi n.$, n ∈ Z
$tg x_{2}=y_{2} = \frac{-3+\sqrt{69} }{6}$
$x_{2}=arctg( \frac{-3+\sqrt{69} }{6} )+ \pi n,$ n ∈ Z