Ускорение это 2я производная пути
![a_1=S_1''=(A_1t+B_1t^2+C_1t^3)''=(A_1+2B_1t+3C_1t^2)'=2B_1+6C_1t](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3DS_1%27%27%3D%28A_1t%2BB_1t%5E2%2BC_1t%5E3%29%27%27%3D%28A_1%2B2B_1t%2B3C_1t%5E2%29%27%3D2B_1%2B6C_1t)
(1)
![a_2=S_1''=(A_2t+B_2t^2+C_2t^3)''=(A_2+2B_2t+3C_2t^2)'=2B_2+6C_2t](https://tex.z-dn.net/?f=a_2%3DS_1%27%27%3D%28A_2t%2BB_2t%5E2%2BC_2t%5E3%29%27%27%3D%28A_2%2B2B_2t%2B3C_2t%5E2%29%27%3D2B_2%2B6C_2t)
(2)
Ну приравниваем (1) и (2) (крайние правые части, раз ускорения равны)
![a_1=a_2 \newline 2B_1+6C_1t=2B_2+6C_2t \newline 6(C_2-C_1)t=2(B_1-B_2) \newline t=3(C_2-C_1)/(B_1-B_2)=3(4-2)/(8-2)=6/6=1 ](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3Da_2+%5Cnewline%0A2B_1%2B6C_1t%3D2B_2%2B6C_2t+%5Cnewline%0A6%28C_2-C_1%29t%3D2%28B_1-B_2%29+%5Cnewline%0At%3D3%28C_2-C_1%29%2F%28B_1-B_2%29%3D3%284-2%29%2F%288-2%29%3D6%2F6%3D1%0A)
2я)
![v_{21}=v_2-v_1= \frac{ds_2}{dt}- \frac{ds_1}{dt}=(4t+2t^2)'-(6t+2t^3)'= \\ =4+4t-(6+2*3t^2) =4+4t-6-2*3t^2=-6t^2+4t-2](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7B21%7D%3Dv_2-v_1%3D+%5Cfrac%7Bds_2%7D%7Bdt%7D-++%5Cfrac%7Bds_1%7D%7Bdt%7D%3D%284t%2B2t%5E2%29%27-%286t%2B2t%5E3%29%27%3D+%5C%5C+%3D4%2B4t-%286%2B2%2A3t%5E2%29+%3D4%2B4t-6-2%2A3t%5E2%3D-6t%5E2%2B4t-2)
или
![v_{12}=v_1-v_2=s_1'- s_2'=(6t+2t^3)'-(4t+2t^2)'= 6t^2-4t+2](https://tex.z-dn.net/?f=v_%7B12%7D%3Dv_1-v_2%3Ds_1%27-++s_2%27%3D%286t%2B2t%5E3%29%27-%284t%2B2t%5E2%29%27%3D+6t%5E2-4t%2B2)
Два варианта ибо не сказано кто относительно кого.
4я). Если брошены с одинаковой начальной скоростью из одной точки, то они могли встретиться, если 1-е уже начало падать.
При вертикальном движении тела, брошенного с начальной скоростью v₀, его высота h(t) меняется со временем по закону:
![h(t)=v_0t- \frac{gt^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=h%28t%29%3Dv_0t-+%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D+)
(4.1)
Считаем начальную высоту h(0)=0.
Тогда для 1-го тела
![h_1(t)=v_0t- \frac{gt^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=h_1%28t%29%3Dv_0t-+%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D)
(4.2)
для 2-го
![\left \{ {{h_2(t)=0, t\ \textless \ 1,8} \atop {h_2(t)=v_0(t-1,8)- \frac{g(t-1,8)^2}{2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bh_2%28t%29%3D0%2C+t%5C+%5Ctextless+%5C+1%2C8%7D+%5Catop+%7Bh_2%28t%29%3Dv_0%28t-1%2C8%29-+%5Cfrac%7Bg%28t-1%2C8%29%5E2%7D%7B2%7D%7D+%5Cright.+)
(4.3)
Я так понял, через 5,5с после броска 1го тела они встретились (можно было предположить через 5,5с после броска 2-го, ведь толком не сказано ). Тогда
Раз высоты одинаковые приравниваем правые части (4.2) и (4.3). (второе уравнение).
![v_0t- \frac{gt^2}{2}=v_0(t-1,8)- \frac{g(t-1,8)^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=v_0t-+%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D%3Dv_0%28t-1%2C8%29-+%5Cfrac%7Bg%28t-1%2C8%29%5E2%7D%7B2%7D)
(4,4)
Преобразуем (4,4) выразим v₀ и подставив t=5,5 , вычиcляем v₀.
![v_0t- \frac{gt^2}{2}=v_0(t-1,8)- \frac{g(t-1,8)^2}{2}=v_0t-1,8v_0- \frac{g(t^2-3,6t+3,24)}{2} \\ \\ \frac{gt^2}{2}=-1,8v_0+\frac{gt^2}{2}-1,8gt+1,62g \\ \\ -1,8v_0=-1,8gt+1,62g \\ \\ v_0=g(t-0,9)\approx9,8(5,5-0,9)=9,8*4,6=45,08](https://tex.z-dn.net/?f=v_0t-+%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D%3Dv_0%28t-1%2C8%29-+%5Cfrac%7Bg%28t-1%2C8%29%5E2%7D%7B2%7D%3Dv_0t-1%2C8v_0-++%5Cfrac%7Bg%28t%5E2-3%2C6t%2B3%2C24%29%7D%7B2%7D++%5C%5C++%5C%5C+%0A%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D%3D-1%2C8v_0%2B%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D-1%2C8gt%2B1%2C62g++%5C%5C++%5C%5C+%0A-1%2C8v_0%3D-1%2C8gt%2B1%2C62g+%5C%5C++%5C%5C+%0Av_0%3Dg%28t-0%2C9%29%5Capprox9%2C8%285%2C5-0%2C9%29%3D9%2C8%2A4%2C6%3D45%2C08)
v₀≈45,1 [м/с]
Да скорость она в [м/с], а не в [м]
8)
При замедлении вращения угловая скорость:
![\omega=\omega_0-\epsilon t](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%3D%5Comega_0-%5Cepsilon+t)
(5.1)
![\epsilon](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cepsilon)
- модуль углового ускорения
тогда, учитывая, что по условию через t=2,4c
![\omega= \frac{\omega_0}{1,5}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega%3D+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B1%2C5%7D+)
,
из (5.1) получаем:
![\frac{\omega_0}{1,5} =\omega_0-\epsilon t \\ \\ \epsilon =\omega_0(1-1/1.5)/t=4,71(1-10/15)/2,4 \approx 0,654](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B1%2C5%7D+%3D%5Comega_0-%5Cepsilon+t+%5C%5C++%5C%5C+%0A+%5Cepsilon+%3D%5Comega_0%281-1%2F1.5%29%2Ft%3D4%2C71%281-10%2F15%29%2F2%2C4+%5Capprox+0%2C654)
![\epsilon \approx 0,654](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cepsilon+%5Capprox+0%2C654)
[рад/с²]
Угол (в радианах) на который провернется колесо находим из (5.1)
![\phi(t)= \int\limits^t_0 {\omega(t)} \, dt=\int\limits^t_0 {\omega_0-\epsilon t} \, dt=( \omega_0 t-\epsilon t^2/2)|_0^t=\omega_0 t-\epsilon t^2/2= \\ \\ =4,71*2,4-0,654*2,4^2/2\approx9,446](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cphi%28t%29%3D+%5Cint%5Climits%5Et_0+%7B%5Comega%28t%29%7D+%5C%2C+dt%3D%5Cint%5Climits%5Et_0+%7B%5Comega_0-%5Cepsilon+t%7D+%5C%2C+dt%3D%28+%5Comega_0+t-%5Cepsilon+t%5E2%2F2%29%7C_0%5Et%3D%5Comega_0+t-%5Cepsilon+t%5E2%2F2%3D+%5C%5C++%5C%5C+%0A%3D4%2C71%2A2%2C4-0%2C654%2A2%2C4%5E2%2F2%5Capprox9%2C446)
Далее чтобы найти число оборотов делим данный угол на угол соответствующий одному обороту (2π)
![N= \frac{\phi}{2 \pi } \approx \frac{9,4464}{2*3,1416}\approx1,50](https://tex.z-dn.net/?f=N%3D+%5Cfrac%7B%5Cphi%7D%7B2+%5Cpi+%7D+%5Capprox+%5Cfrac%7B9%2C4464%7D%7B2%2A3%2C1416%7D%5Capprox1%2C50+)
Ответ: N=1,5 оборота; Ускорение
![\epsilon=-0,645](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cepsilon%3D-0%2C645)
[рад/с²]