Question

1)Найти первообразную функции
2)Вычислить интеграл
3) Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x}-{2\over\sqrt{x}}\\ F(x)=\int(\sqrt{x}-{2\over\sqrt{x}}){\mathrm dx}=2{\sqrt{x^3}\over3}-4\sqrt{x}+C\\ f(x)={2\over x^3}-{4\over x^2}\\ F(x)=\int({2\over x^3}-{4\over x^2}){\mathrm dx}=-x^{-2}+4x^{-1}+C\\ f(x)=\sqrt{6x-2}\\ F(x)=\int\sqrt{6x-2}{\mathrm dx}={1\over6}\int\sqrt{6x-2}{\mathrm d(6x-2)}={2\over6*3}\sqrt{(6x-2)^3}={1\over9}\sqrt{(6x-2)^3}$$\\ \int_{1}^{4}{\sqrt{x}\over x}{\mathrm dx}=\int_{1}^{4}(x^{{1\over2}-1}){\mathrm dx}=\int_{1}^{4}x^{-{1\over2}}{\mathrm dx}=2\sqrt{x}|_{1}^{4}=2(2-1)=2\\ \int_{-2}^{0}(x^5-3x^2){\mathrm dx}={x^6\over6}|_{-2}^{0}-x^3|_{-2}^{0}={1\over6}(0-64)-0-8=-{32\over3}-{24\over3}=-{56\over3}$
$\\ \int_{0}^{2}(\sqrt{3-y}-{y\over2}){\mathrm dy}=-\int_{0}^{2}\sqrt{3-y}{\mathrm d(3-y)}-{1\over2}\int_{0}^{2}y{\mathrm dy}=-{2\over3}(3-y)^{3\over2}|_{0}^{2}-{1\over4}y^2|_{0}^{2}=-{2\over3}(1-3\sqrt3)-1=2\sqrt{3}-{5\over3}$
4. f(x)=1-4x
F(x)=∫(1-4x)dx=x-2x^2+C
M(-1;9)
9= -1-2+C
C=12
F(x)=x-2x^2+12