Вот решение задачи!!!!!!!!!
![(1 + 2sinx)sinx = sin2x + cosx \\ (1 + 2sinx)sinx = 2sinxcosx + cosx \\ (1 + 2sinx)sinx = (1 + 2sinx)cosx \\ (1 + 2sinx)(sinx - cosx) = 0 \\ \\ 1) \: 1 + 2sinx = 0 \\ sinx = - \frac{1}{2} \\ x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n \\ x = - \frac{5\pi}{6} + 2\pi \: k \\](https://tex.z-dn.net/?f=%281+%2B+2sinx%29sinx+%3D+sin2x+%2B+cosx+%5C%5C+%281+%2B+2sinx%29sinx++%3D+2sinxcosx+%2B+cosx+%5C%5C+%281+%2B+2sinx%29sinx++%3D+%281+%2B+2sinx%29cosx+%5C%5C+%281+%2B+2sinx%29%28sinx+-+cosx%29+%3D+0+%5C%5C++%5C%5C+1%29+%5C%3A+1+%2B+2sinx+%3D+0+%5C%5C+sinx+%3D++-++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5C%5C+x+%3D++-++%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D++%2B+2%5Cpi+%5C%3A+n+%5C%5C+x+%3D++-++%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B6%7D++%2B+2%5Cpi+%5C%3A+k+%5C%5C+)
n и k принадлежат Z
![2) \: \: sinx - cosx = 0](https://tex.z-dn.net/?f=2%29+%5C%3A++%5C%3A+sinx+-+cosx+%3D+0)
Обе части разделим на cosx =/ 0
![tgx - 1 = 0 \\ tgx = 1 \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi \: m](https://tex.z-dn.net/?f=tgx+-+1+%3D+0+%5C%5C+tgx+%3D+1+%5C%5C+x+%3D++%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D++%2B+%5Cpi+%5C%3A+m)
m принадлежит Z
ОТВЕТ: - п/6 + 2пn ; - 5п/6 + 2пk ; п/4 + пm , n , k и m принадлежат Z
........................................
Синус по модулю не превосходит 1, так что произведение нескольких синусов будет равно по модулю 1 тогда и только тогда, когда все синусы по модулю равны 1.
1) sin x = 1 (x = pi/2 + 2pi k)
sin 5x = sin(5pi/2 + 10pi k) = sin(pi/2 + 2pi + 10pi k) = sin(pi/2) = 1
sin 9x = sin(9pi/2 + 18pi k) = sin(pi/2 + 4pi + 18pi k) = sin(pi/2) = 1
1 * 1 * 1 = 1 - верно, x = pi/2 + 2pi k - решение.
2) sin x = -1 (x = -pi/2 + 2pi k)
Аналогичная проверка покажет, что sin(5x) = -1, sin(9x) = -1
(-1) * (-1) * (-1) = 1 - неверно, x = -pi/2 + 2pi k - не решение.
Ответ. x = pi/2 + 2pi k, k - любое целое число