Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые a и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы при параллельных прямых и секущей
Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
\angle 1=\angle 3
\angle 2=\angle 4
Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.
Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180^{\circ}.
Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
\angle 3=\angle 5,
\angle 1=\angle 7,
\angle 2=\angle 8,
\angle 4=\angle 6.
Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180^{\circ}, то есть
\angle 1+\angle 6=180^{\circ},
\angle 4+\angle 7=180^{\circ}.
Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
\angle 2=\angle 6,
\angle 3=\angle 7.
Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
\angle 3=\angle 5,
\angle 1=\angle 7,
\angle 2=\angle 8,
\angle 4=\an
2
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
ПараллелограммНапомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть B \mkern -2mu M — биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки M \mkern -3mu D и AB равны 3x и 4x соответственно.
Рассмотрим углы C \mkern -2mu B \mkern -2mu M и B \mkern -2mu M \mkern -2mu A. Поскольку AD и BC параллельны, B \mkern -2mu M — секущая, углы C \mkern -2mu B \mkern -2mu M и B \mkern -2mu M \mkern -3mu A являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM — равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Отсюда x = 4, 7x = 28.
Ответ: 28.
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 28^{\circ} и 34^{\circ}. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 118^{\circ}.
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50^{\circ}? Ответ дайте в градусах.
Равнобедренная трапеция Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, \alpha -\beta =50^{\circ}, то есть \alpha =\beta + 50^{\circ}.
Углы \alpha и \beta — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
\alpha + \beta =180°.
Итак, 2\beta +50^{\circ}=180^{\circ}
\beta =65^{\circ}, тогда \alpha =115^{\circ}.
Ответ: 115^{\circ}.
