Question

Какова площадь не закрашенной части квадрата (См.условие)?

Внутри квадрата со стороной 4 нарисовали восемь одинаковых полукругов (см. рисунок). Какова площадь не закрашенной части квадрата?

Варианты ответов: А)2π Б)8 В)6+π Г)6 Д)3π

Answer 1

Если соединить середины сторон квадрата, получим квадрат с диагональю 4. Внутри него окажутся восемь закрашенных сегментов кругов, которые по площади равны восьми незакрашенным сегментам кругов, расположенных вдоль диагоналей квадрата со стороной 4 (грубо говоря, в его углах).

Таким образом, площадь незакрашенной части квадрата 4х4 будет равна площади квадрата с диагональю 4 или 4²/2 = 8.

Но можно и побольше заморочиться. Площадь квадрата равна 4² = 16. Диаметр полукругов равен 4/2 = 2, значит, радиус равен 1, а площадь каждого из них π/2. Площадь восьми полукругов - 4π. Но полукруги пересекаются, поэтому из этой площади необходимо исключить площадь восьми секторов (они как раз не закрашены), равную 8*(π/4 - 1/2) = 2π - 4. Т.о. площадь, занятая полукругами, равна (4π - 2π + 4) = 2π + 4. Площадь незакр. части квадрата будет равна разнице площади квадрата и площади, занятой полукругами, плюс площадь восьми незакрашенных секторов.

16 - 2π - 4 + 2π - 4 = 8.

Получили тот же самый результат.

Ответ. Правильный вариант - (Б), площадь части квадрата, оставшейся незакрашенной, равна 8.

Answer 2

На первый взгляд пугаешься рисунка, который изображен и найти площадь закрашенного участка кажется невозможным. Но задача не так сложна, как кажется на первый взгляд.

Если разбить данный квадрат на четыре квадрата со сторонами 2, в полученных квадратах закрашенные и не закрашенные части будут одинаковыми.

Поэтому достаточно будет рассмотреть один из них.

Если провести диагональ, чтобы получилась условная граница между закрашенным и не закрашенным, мы увидим, что два закрашенных полу сегмента на одной стороне соответствуют не закрашенной на второй.

И площади закрашенной и не закрашенной части равны (диагональ делит квадрат пополам).

Значит и общая площадь не закрашенной части равно половине площади квадрата ( 4*4/2).

Правильный ответ - 8.

Answer 3

На первый взгляд кажется сложным найти площадь незакрашенной части квадрата, но если посмотреть на рисунок внимательно, мы увидим, что четыре незакрашенных лепестка в углах точно соответствуют выемкам в центральной части квадрата. То есть один лепесток делится пополам и обе половинки занимают свои места, дополняя незакрашенный квадрат до правильного квадрата. И нам только и остается, что найти площадь центральной части квадрата не обращая внимания на вырезы от полукругов.

Мы видим, что диагонали этого квадрата равны сторонам исходного большого квадрата, а следовательно можем воспользоваться формулой нахождения площади квадрата по двум диагоналям - перемножим их и поделим пополам: 4*4/2=8.

Верный ответ Б: 8

Answer 4

Конечно, сразу думаешь после прочтения условия задачи, что придется вычислять площади полукругов, тем более, что большинство вариантов ответов подтверждают эти догадки, но на самом деле все не так. Рассмотрим внимательнее рисунок. У нас имеются четыре лепестка между этими полукругами, они не закрашены, вот они то нам и помогут обойтись без сложных расчетов. Они как-бы компенсируют то, что стороны закрашенных частей неровные, они компенсируют волнообразные выступы на этих сторонах. В итоге можно считать что внутри квадрата находится незакрашенный ромб со стороной равной корню квадратному из 8, а площадью соответственно равной 8. Площадь нашего квадрата равна 4 х 4 = 16. 16 - 8 = 8.

Ответ: 8 (вариант Б).

Answer 5

Эта задачка лишь на первый взгляд кажется сложной, но на самом деле она очень просто решается. Здесь нам не нужно высчитывать площади секторов окружностей и манипулировать различными формулами. Для того, чтобы найти правильный ответ, нужно лишь немного логики.

Первым делом расчертим рисунок на клетки. Можно заметить, что совместив определённые закрашенные элементы (по белым стрелочкам), мы получим цельные квадраты темного цвета. Остаётся перенести эти квадраты вниз, чтобы получился прямоугольник, и найти его площадь. По условию сторона большого квадрата равна 4. Значит площадь прямоугольника можно найти так:

S=4*2=8.

Ответ: Б) 8