Сначала решаем как логарифмическое уравнение, для этого приведем к одинаковому основанию и внесем под знак логарифма дробь 1/2.
log2(x) = 2log4(x), это должно быть понятно.
log4(1 - sin(2x)) <= 1/2 + 2log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) <= log4(2) + 2log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) <= log4(2) + log4(sin(x)) + log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) <= log4(2) + log4(sin^2(x))
log4(1 - sin(2x)) <= log4(2*sin^2(x))
Так как основание логарифма (4) больше 1, это неравенство эквивалентно следующему:
1 - sin(2x) <= 2*sin^2(x)
Решим его.
Пусть s = sin(x), c = cos(x), C = ctg(x). Тогда получим:
2ss - 1 + 2sc >= 0
Рассмотрим 2 случая:
1) sin(x) = 0. В этом случае cos(x) = 1
0 - 1 + 0 >= 0
Неравенство решений не имеет.
2) sin(x) <> 0. В этом случае имеем возможность разделить неравенство на sin^2(x) > 0. Получим:
2 - 1/(ss) + 2c/s >= 0
2 - 1/(ss) + 2C >= 0
В учебнике должна быть такая формула:
1 + CC = 1/(ss)
Применив ее и выразив 1/(ss) через котангенс получим:
2 - 1 - CC + 2C >= 0
1 - CC + 2C >= 0
CC - 2C - 1 <= 0, где C = ctg(x)
А это уже квадратное уравнение. Решим его:
D = 4 + 4*1 = 8
C1,2 = (2 +- sqrt(8))/2
sqrt(8) это корень квадратный из 8.
Промежуточный ответ:
x = arcctg((2 + sqrt(8))/2) + pn = arcctg(1 + sqrt(2)) + pn
x = arcctg((2 - sqrt(8))/2) + pn = arcctg(1 - sqrt(2)) + pn
Тут еще нужно не забыть про ОДЗ, т. к. аргумент логарифмической функции должен быть больше нуля.
sin(x) > 0 выполняется при x E (0 + 2p; p + 2p)
1 - sin(2x) > 0 выполняется всегда кроме x = p/4
Поэтому ответ такой:
x = arcctg(1 + sqrt(2)) + 2pn
x = arcctg(1 - sqrt(2)) + 2pn
X=t²-9t
x²+22x+112=0
D=22²-4*112=36=6²
x₁=(-22-6)/2=-14
x₂=(-22+6)/2=-8
делаем обратную замену
1) t²-9t=-14
t²-9t+14=0
D=81-4*14=81-56=25=5²
t₁=(9+5)/2=7
t₂=(9-5)/2=2
2) t²-9t=-8
t²-9t+8=0
D=81-4*8=81-32=49=7²
t₃=(9+7)/2=8
t₄=(9-7)/2=1
Всего с 10 до 99 90 двузначных чисел
из них дают остаток 1
8n+1 n=2 8*2+1=17
n=3; 8*3+1=25...
17;25;33;41;49;57;65;73;81;89;97 всего 11 чисел
Р=11/90 по-моему так!
А) По свойствам логарифма
log3 (sin^2 x) = 2*log3 (sin x)
Сделаем замену t = log3 (sin x)
t^2 + 2t = log3(2)*t
t^2 + t*(2 - log3(2) ) = 0
t*(t + 2 - log3(2) ) = 0
1) t = log3 (sin x) = 0
sin x = 1
x1 = pi/2 + 2pi*n
2) t = log3(2) - 2
log3 (sin x) = log3(2) - log3(9) = log3(2/9)
sin x = 2/9
x2 = arcsin(2/9) + 2pi*k
x3 = pi - arcsin(2/9) + 2pi*k
Б) arcsin(2/9)≈2/9=0,22 < pi/3, поэтому в [pi/3; 2pi] попадают корни:
x1 = pi/2; x2 = pi - arcsin(2/9)
