Только сегодня делал нечто подобное.
Мой способ похож на способ из одного из других ответов.
Разница лишь в том, что я использую другой клей и не одну спичку, а столько, сколько их влезает в отверстие (чаще всего три спички).
Выбираем несколько не сильно сгоревших спичек (где только краешек обуглен), либо неиспользованных.
Сначала вставляем спички (осторожно чтобы, они внутри не обломились) и смотрим сколько их там помещается. Вставлять желательно неиспользованным концом и без серы, то есть ровным.
Затем макаем спички ровным концом в клей и засовываем их в отверстие.
Если остаётся небольшая щель, но целая спичка туда не лезет, можно взять одну острую спичку (если у обгорелой спички оторвать обгорелый круглый кончик, то обычно остаётся заострённая спичка), мокнуть её острым концом в клей, и вставить в щель.
Обычно краешек спичек торчит наружу (не помещается полностью в доске).
Пока его не трогаем. Сначала даём клею полностью застыть.
Тот клей, который использую я, полностью застывает за несколько часов, но зато потом он становится очень твёрдый, и при этом не хрупкий.
Можно поклеить вечером, а к утру всё уже засохнет.
Далее, когда всё уже засохло, спиливаем торчащие спички пилкой с мелким зубцом (я, например, просто вынимаю пилку из ножовки по металлу и спиливаю ею). Далее сделать поверхность ещё ровнее можно с помощью напильника или наждачки (у вас это надо делать осторожно, чтобы не содрать краску).
Далее, если надо, можете подкрасить белой краской (белую масляную лучше не использовать, так как она со временем может потемнеть).
Далее, если вам туда нужно вставлять шуруп, просверлите новое отверстие.
Если нет достаточно тонкого сверла, можете проткнуть дырку шилом.
Либо просто, использовать саморезы.
Иногда вместо спичек можно использовать что-то другое (например палочку от суши, если она туда точно по размеру подходит).
Если вы хотите просто заделать дырку, чтобы её вообще там не было, то можно просто зачистить наждачкой (чтобы отвалились все плохо держащиеся опилки), а затем заполнить отверстие шпатлёвкой по дереву.
Либо вообще можно восстановить структуру ДСП. Взять опилок, и запихать в это отверстие вперемежку с клеем "Супермомент".
Вот какой клей я использую:
