1. подставляем х=-2, получаем
![\frac{3-2*4}{3*4-2-4} = \frac{-5}{12-6} = -\frac{5}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B3-2%2A4%7D%7B3%2A4-2-4%7D+%3D+%5Cfrac%7B-5%7D%7B12-6%7D+%3D+-%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D+)
2. если подставить х=6, получаем неопределенность 0/0. Чтобы разрешить ее, преобразуем функцию:
![\frac{2- \sqrt{x-2} }{ x^{2} -36} = \frac{(2- \sqrt{x-2} )(2+ \sqrt{x-2} )}{ (x^{2} -36)(2+ \sqrt{x-2} )} = \frac{4-(x-2)}{ (x+6)(x-6)(2+ \sqrt{x-2} )} = \\ = \frac{6-x}{ (x+6)(x-6)(2+ \sqrt{x-2} )} =- \frac{1}{ (x+6)(2+ \sqrt{x-2} )}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2-+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-36%7D+%0A%3D+%5Cfrac%7B%282-+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%282%2B+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%7D%7B+%28x%5E%7B2%7D+-36%29%282%2B+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%7D+%3D%0A+%5Cfrac%7B4-%28x-2%29%7D%7B+%28x%2B6%29%28x-6%29%282%2B+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%7D+%3D+%5C%5C+%0A%3D+%5Cfrac%7B6-x%7D%7B+%28x%2B6%29%28x-6%29%282%2B+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%7D+%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%28x%2B6%29%282%2B+%5Csqrt%7Bx-2%7D+%29%7D+)
Подставляем х=6, получаем
![\frac{1}{12*(2+ \sqrt{4} )} = \frac{1}{48}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%2A%282%2B+%5Csqrt%7B4%7D+%29%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B48%7D+)
3. Здесь тоже при прямой подстановке получается неопределенность 0/0, поэтому поступаем так же:
![\frac{x^2-2x-3}{ x^{2} -9} = \frac{x^2-3x+x-3}{ x^{2} -9} = \frac{x(x-3)+(x-3)}{ x^{2} -9} = \frac{(x+1)(x-3)}{ (x+3)(x-3)} = \frac{x+1}{x+3}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bx%5E2-2x-3%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-9%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2-3x%2Bx-3%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-9%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%28x-3%29%2B%28x-3%29%7D%7B+x%5E%7B2%7D+-9%7D+%3D+%5Cfrac%7B%28x%2B1%29%28x-3%29%7D%7B+%28x%2B3%29%28x-3%29%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B3%7D+)
Подставляем х=3, получаем 4/6=2/3
4. При прямой подстановке получаем неопределенность вида ∞/∞.
Здесь старшая степень переменной равна 2, поэтому делим почленно числитель и знаменатель на
![x^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+)
![\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+8x+16}{ x^{2} +2x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{x^2}{x^2} +\frac{8x}{x^2} +\frac{16}{x^2}}{ \frac{x^2}{x^2} +\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2}} =](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2%2B8x%2B16%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%2B2x%2B3%7D+%3D++%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B8x%7D%7Bx%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B16%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7B+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2%7D+%2B%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%7D+%3D)
И в числителе, и в знаменателе первое слагаемое стремится к 1, остальные два - к нулю (обозначь это стрелочками), поэтому
![= \frac{1}{1} =1](https://tex.z-dn.net/?f=+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+%3D1)
5.
![\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-x+7}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x-4x+7}{x+3}=\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+3x}{x+3}+\frac{-4x+7}{x+3})= \\ =\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x}{x+3}+\lim_{x \to \infty} \frac{-4x+7}{x+3}= \lim_{x \to \infty} \frac{x(x+3)}{x+3}+\lim_{x \to \infty} \frac{-4x+7}{x+3}= \\ =\lim_{x \to \infty} x+\lim_{x \to \infty} \frac{-4x+7}{x+3}=](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx%5E2-x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B3x-4x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%28%5Cfrac%7Bx%5E2%2B3x%7D%7Bx%2B3%7D%2B%5Cfrac%7B-4x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D%29%3D+%5C%5C+%0A%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B3x%7D%7Bx%2B3%7D%2B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B-4x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D%3D%0A%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx%28x%2B3%29%7D%7Bx%2B3%7D%2B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B-4x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D%3D+%5C%5C+%0A%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+x%2B%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B-4x%2B7%7D%7Bx%2B3%7D%3D)
Первый предел стремится к ∞, во втором неопределенность ∞/∞ раскрываем путем почленного деления числ. и знамен. на х, потому что 1 - старшая степень. Распиши это самостоятельно, плиз, потому что набирать это на клавиатуре - труд довольно-таки адский. Сделай как в предыдущем примере, стрелками обозначь, что к чему стремится (в числ.- к -4 и к 0, в знам. - к 1 и к 0), получается -4/1=-4. Но ∞ - 4 все равно равна ∞, так что ответ : ∞.
6. Здесь то же самое: ∞/∞, делим почленно на икс в кубе, числитель стремится к нулю, знаменатель - к 1, предел получается равен 0/1=0