Обозначим функцию из левой части равенства как f(x). f(x) определена, если 
, при 
обращаются в ноль числитель и знаменатель.
![f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{\mathop{\mathrm{tg}}x}-\sqrt[3]{\mathop{\mathrm{ctg}}x}}{\sqrt[3]{\sin x}+\sqrt[3]{\cos x}}=\dfrac{(\sqrt[3]{\sin x})^2-(\sqrt[3]{\cos x})^2}{\sqrt[3]{\sin x\cos x}(\sqrt[3]{\sin x}+\sqrt[3]{\cos x})}=\\=\dfrac{\sqrt[3]{\sin x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sqrt[3]{\sin x\cos x}}=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}-\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cmathop%7B%5Cmathrm%7Btg%7D%7Dx%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cmathop%7B%5Cmathrm%7Bctg%7D%7Dx%7D%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%29%5E2-%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%29%5E2%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%5Ccos+x%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%29%7D%3D%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%5Ccos+x%7D%7D%3D%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D-%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%7D%3D%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%2B%5Cleft%7C%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%7D%5Cright%7C)
Применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
![\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|\geqslant 2\sqrt{\dfrac1{\sqrt[3]{|\sin x|\cos x}}}=\dfrac{2\sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{|\sin 2x|}}\geqslant 2\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%2B%5Cleft%7C%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%7D%5Cright%7C%5Cgeqslant+2%5Csqrt%7B%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%7C%5Csin+x%7C%5Ccos+x%7D%7D%7D%3D%5Cdfrac%7B2%5Csqrt%5B6%5D%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%5B6%5D%7B%7C%5Csin+2x%7C%7D%7D%5Cgeqslant+2%5Csqrt%5B6%5D2)
Равенство
![\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|=2\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%2B%5Cleft%7C%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%7D%5Cright%7C%3D2%5Csqrt%5B6%5D2)
достигается при, и функция
![g(x)=\dfrac1{\sqrt[3]{\cos x}}+\left|\dfrac1{\sqrt[3]{\sin x}}\right|](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3D%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ccos+x%7D%7D%2B%5Cleft%7C%5Cdfrac1%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Csin+x%7D%7D%5Cright%7C)
непрерывна в точке. Значит, при x, близких к , функция g(x) принимает значения, близкие к ![2\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Csqrt%5B6%5D2)
, но большие его. При таких x f(x) = g(x), значит, и f(x) принимает такие значения, поэтому неравенство 
имеет решения при ![a/2\ \textgreater \ 2\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=a%2F2%5C+%5Ctextgreater+%5C+2%5Csqrt%5B6%5D2)
и не имеет решений при остальных a.
![\dfrac a2\leqslant 2\sqrt[6]2\\a\leqslant4\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac+a2%5Cleqslant+2%5Csqrt%5B6%5D2%5C%5Ca%5Cleqslant4%5Csqrt%5B6%5D2)
Ответ.![4\sqrt[6]2](https://tex.z-dn.net/?f=4%5Csqrt%5B6%5D2)
Применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
Равенство
достигается при
непрерывна в точке
Ответ.