Question

Чи вірно, що існує так натуральне k , що для будь якого натурального числа n>k вірна нерівність (во вложении)

Answer 1

Да, верно.

Рассмотрим предел
$\displaystyle\lim_n n\left(\sum_{k=1}^n\frac1{C_n^k}-1\right)=\lim_n n\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{C_n^k}$

Заметим, что для всех 2 < k < n - 2
$C_n^k\geqslant C_n^3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}6$

Тогда
$\displaystyle n\left(\frac1{C_n^1}+\frac1{C_n^{n-1}}\right)\leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\frac n{C_n^k}\leqslant n\left(\frac1{C_n^1}+\frac1{C_n^{n-1}}+\frac1{C_n^2}+\frac1{C_n^{n-2}}+\frac{n-5}{C_n^3}\right)\\ 2\leqslant n\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{C_n^k}\leqslant 2+\frac4{n-1}+\frac{6(n-5)}{(n-1)(n-2)}$

Правая часть стремится к 2, тогда по теореме о двух милиционерах 
$\displaystyle\lim_n n\left(\sum_{k=1}^n\frac1{C_n^k}-1\right)=2\\ \sum_{k=1}^n\frac1{C_n^k}=1+\frac2n+o\left(\frac1n\right)$

$\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n\frac1{C_n^k}\right)^n=\left(1+\frac2n+o\left(\frac1n\right)\right)^n\to e^2=7.38\dots\ \textless \ 7.4$

Так как левая часть неравенства в пределе меньше 7,4, то начиная с какого-то места левая часть будет меньше 7,4, что и требовалось доказать.