![tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E3%20x%2Bctg%5E3%20x%2Btg%5E2%20x%2Bctg%5E2%20x%20%3D0)
![tg^3 x+ \frac{1}{tg^3x} +tg^2 x+ \frac{1}{tg^2x} =0](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E3%20x%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Btg%5E3x%7D%20%2Btg%5E2%20x%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Btg%5E2x%7D%20%20%3D0)
Замена:
![tg^2x=t \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E2x%3Dt%20%5Cneq%200)
![t^3+ \frac{1}{t^3} +t^2+ \frac{1}{t^2} =0,t \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E3%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E3%7D%20%2Bt%5E2%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E2%7D%20%3D0%2Ct%20%5Cneq%200)
![\frac{t^6+t^5+t+1}{t^3} =0,t \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bt%5E6%2Bt%5E5%2Bt%2B1%7D%7Bt%5E3%7D%20%3D0%2Ct%20%5Cneq%200)
![t^6+t^5+t+1=0,t \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E6%2Bt%5E5%2Bt%2B1%3D0%2Ct%20%5Cneq%200)
Если целые корни есть, то это либо 1 либо -1 (теорема Безу и все что с ней связано)
![\frac{t^6+t^5+t+1}{t-1} =t^5+1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bt%5E6%2Bt%5E5%2Bt%2B1%7D%7Bt-1%7D%20%3Dt%5E5%2B1)
![\frac{t^5+1}{t+1} =t^4-t^3+t^2-t+1](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bt%5E5%2B1%7D%7Bt%2B1%7D%20%3Dt%5E4-t%5E3%2Bt%5E2-t%2B1)
Смотреть деление в столбик
![(t+1)^2(t^4-t^3+t^2-t+1)=0,t \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28t%2B1%29%5E2%28t%5E4-t%5E3%2Bt%5E2-t%2B1%29%3D0%2Ct%20%5Cneq%200)
Рассмотрим отдельно уравнение
![t^4-t^3+t^2-t+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E4-t%5E3%2Bt%5E2-t%2B1%3D0)
Оно возвратное! делим его на
![t^2](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2)
, t=0 - не его корень
![t^2+ \frac{1}{t^2}-(t+ \frac{1}{t} )+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E2%7D-%28t%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20%29%2B1%3D0)
![t^2+2*t* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}-2-(t+ \frac{1}{t} )+1=0](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E2%2B2%2At%2A%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%2B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E2%7D-2-%28t%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20%29%2B1%3D0)
![(t+ \frac{1}{t})^2-(t+ \frac{1}{t} )-1=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28t%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%29%5E2-%28t%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20%29-1%3D0)
Откуда
![t+ \frac{1}{t}= \frac{1\pm \sqrt{5} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=t%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%5Cpm%20%5Csqrt%7B5%7D%20%7D%7B2%7D%20)
откуда выходит два квадратных уравнение, и каждое из них не имеет действительных корней
tg(x)=-1, и sin(x) != 0, и cos(x) != 0
x = -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел (запрет для синуса и косинуса быть нулем не влияет на это множество)
Ответ: -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел