Question

Решить тригонометрическое уравнение
tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0

Answer 1

$tg^3 x+ctg^3 x+tg^2 x+ctg^2 x =0$
$tg^3 x+ \frac{1}{tg^3x} +tg^2 x+ \frac{1}{tg^2x} =0$
Замена: $tg^2x=t \neq 0$
$t^3+ \frac{1}{t^3} +t^2+ \frac{1}{t^2} =0,t \neq 0$
$\frac{t^6+t^5+t+1}{t^3} =0,t \neq 0$
$t^6+t^5+t+1=0,t \neq 0$

Если целые корни есть, то это либо 1 либо -1 (теорема Безу и все что с ней связано)
$\frac{t^6+t^5+t+1}{t-1} =t^5+1$
$\frac{t^5+1}{t+1} =t^4-t^3+t^2-t+1$
Смотреть деление в столбик

$(t+1)^2(t^4-t^3+t^2-t+1)=0,t \neq 0$

Рассмотрим отдельно уравнение $t^4-t^3+t^2-t+1=0$
Оно возвратное! делим его на $t^2$, t=0 - не его корень
$t^2+ \frac{1}{t^2}-(t+ \frac{1}{t} )+1=0$
$t^2+2*t* \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^2}-2-(t+ \frac{1}{t} )+1=0$

$(t+ \frac{1}{t})^2-(t+ \frac{1}{t} )-1=0$
Откуда $t+ \frac{1}{t}= \frac{1\pm \sqrt{5} }{2}$
откуда выходит два квадратных уравнение, и каждое из них не имеет действительных корней

tg(x)=-1, и sin(x) != 0, и cos(x) != 0

x = -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел (запрет для синуса и косинуса быть нулем не влияет на это множество)

Ответ: -Pi/4 + Pi*n, где n - множество действительных чисел