Question

1)Найдите решение уравнения sinx/3=-1/2 на отрезке [0;3pi] 2) решите 4sinx+5cosx=4

Answer 1

$\sin \frac{x}{3} =- \frac{1}{2} \\ \\ \frac{x}{3} =(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,n \in \mathbb{Z} \\ \\ x=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{2} +3 \pi n,n \in \mathbb{Z}$
Отбор корней на промежутке [0;3pi]
$n=1;\,\,\, x= \frac{\pi}{2} +3 \pi > 3\pi$
$n=0;\,\,\,\, x=- \frac{\pi}{2} +0\ \textless \ 0$
Корней нет на промежутке

2) Используем формулы, содержащие дополнительный угол
$4\sin x+5\cos x=4\\ \\ \sqrt{4^2+5^2}\sin(x+\arcsin \frac{5}{ \sqrt{4^2+5^2} } )=4\\ \\ \sqrt{41} \sin(x+\arcsin \frac{5}{\sqrt{41} } )=4\\ \\ \sin(x+\arcsin \frac{5}{\sqrt{41} } )= \frac{4}{\sqrt{41} } \\ \\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \arcsin\bigg( \frac{4}{\sqrt{41} } \bigg)-\arcsin\bigg( \frac{5}{\sqrt{41} }\bigg)+\pi k,k \in \mathbb{Z} }$