Этот треугольник, вернее его стороны, можно проверить на соответствие теореме Пифагора, а так как она выполняется (5*5=4*4+3*3), делаем вывод, что треугольник прямоугольный.
площадь = половине произведения катетов
s=1/2*AB*BC=1/2*3*4=6
1)Надо продлить прямую AB за точку A до пересечения с прямой n в точке С, 2) обозначить центр окружности O.
3) провести из точки A перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки A на прямую n). Пусть это - точка N.
4) Проекция точки B на n - точка M
5) Проекция точки O (центра окружности) точка K;
6) через точку A надо провести прямую II n, пусть она пересекает BM в точке F и OK в точке E;
7) и последнее - через точку O тоже проводится прямая II n до пересечения с BM в точке D;
Итак, есть касательная CK и секущая CB к окружности с центром в точке O.
Очевидно, что AFMN - прямоугольник, поэтому
BF = BM - AN = 5 - 1 = 4;
в прямоугольном треугольнике AFB известны гипотенуза AB = 2√5 и катет BF = 4; откуда AF = 2; разумеется NM = AF = 2;
и кроме того, AN = FM = EK = 1; поскольку AEKN - тоже прямоугольник.
из подобия треугольников AFN и ACN легко найти CN = 1/2;
Ясно, что CM = СN + NM = 1/2 + 2 = 5/2;
чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности R; и пусть CK = a;
тогда OB = OA = OK = R; AE = CK - CN = a - 1/2; OD = CK - CM = a - 5/2;
Из треугольника BOD OD^2 + BD^2 = OB^2; BD = BM - R;
(a - 5/2)^2 + (5 - R)^2 = R^2;
или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10R = 0;
Из треугольника AOE AE^2 + OE^2 = AO^2; OE = R - EK = R - 1;
(a - 1/2)^2 + (R - 1)^2 = R^2;
a^2 - a + 1/4 + 1 - 2R = 0;
Если исключить R из двух полученных уравнений, получится
a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2);
второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель :).
После этого легко найти и R, 2R = 1 + (a - 1/2)^2;
в первом случае R = 5/2; во втором R = 5;
Геометрически второе решение отличается от первого тем, что точка K лежит с другой стороны от точки C, чем точки M и N. поэтому a получилось отрицательное. При этом дуга окружности AB лежит ниже прямой AB.
<span>А11. Чему равно дано и что найти, ты и сам в состоянии написать.
Расставив точки А, В, С, Е на окружности, получаем <x=<CAB. Это вписанный угол, который равен половине дуги ВС.:
1)<x=BC:2
Зная углы </span>α<span> и </span>β<span>, находим угол СВЕ:
2)<CBE=</span>α<span>+</span>β<span>=21+49=70</span>°
<span>Угол СВЕ - вписанный, значит равен половине дуги СЕ. Отсюда
3)СЕ=2*<CBE=2*70=140</span>°
<span>Дуга ВС таким образом равна разности дуг ВЕ и СЕ:
4)BC=BE-CE=180-140=40</span>°
<span>5)<x=BC:2=40:2=20</span>°<span>
А12. Дано: АВ:ВС:АС=2:3:4
Найти <A, <B, <C
Пусть АВ=2х, ВС=3х, АС=4х
Зная, что углы А, В и С - вписанные и опираются на дуги ВС, АС и АВ, соответственно, запишем:
1)<A=BC:2=3х:2
<B=AC:2=4x:2=2x
<C=AB:2=2x:2=x
Зная, что сумма углов треугольника равна 180</span>°<span>, запишем:
2)<A+<B+<C=180
3x:2+2x+x=180
3x:2+3x=180
9x:2=180
9x=360
x=40
3)<A=3*40:2=60</span>°
<span><B=2*40=80</span>°
<span><C=40</span>°<span>
А13. Дано: АМ=9 см, ВМ=12 см
Найти: ОА
Угол АМВ - вписанный, опирающийся на полуокружность, значит, он прямой:
1)<AMB=90</span>°
<span>По теореме Пифагора находим неизвестную гипотенузу АВ в прямоугольном треугольнике АМВ:
AB=</span>√<span>AM</span>²<span>+BM</span>²<span>=</span>√<span>9</span>²<span> + 12</span>²<span>=</span>√<span>225=15 см
2)АО=АВ:2=15:2=7,5 см
А21. Расставим на окружности точки А, В, С и Е.
1). <x=<ABE=AE:2
2). АЕ=АВ-ВС-СЕ
3). ВС= 2*<BEC=2*</span>β<span>=2*47=94
4). СЕ=2*<CBE=2*</span>α<span>=2*19=38
5). AE=180-94-38=48
6). <x=AE:2=48:2=24</span>°<span>
А22. Дано: АВ:ВС:АС=1:3:5
Найти: <A, <B, <C
Пусть АВ=х, ВС=3х, АС=5х
Зная, что углы А, В и С - вписанные и опираются на дуги ВС, АС и АВ, соответственно, запишем:
1)<A=BC:2=3х:2
<B=AC:2=5x:2
<C=AB:2=x:2
Зная, что сумма углов треугольника равна 180</span>°<span>, запишем:
2)<A+<B+<C=180
3х:2+5x:2+x:2=180
9x:2=180
9x=360
x=40
3)<A=3*40:2=60</span>°
<span><B=5*40:2=100</span>°
<span><C=40:2=20
А23. Добавить еще один рисунок нет возможности. Используй рисунок из задания А13
Дано: ОА=10 см, ВМ=16 см
Найти: АМ
Угол АМВ - вписанный, опирающийся на полуокружность, значит, он прямой:
1)<AMB=90</span>°
<span>По теореме Пифагора находим неизвестный катет АМ:
2)AM=</span>√<span>AB</span>²<span>-BM</span>²<span>=</span>√<span>2OA</span>²<span>-BM</span>²<span>=</span>√<span>20</span>²<span> - 16</span>²<span> =</span>√<span>144=12 см<span>
</span></span>