Question

Решите уравнение V(6x+1) + V(4x+2) = V(8x) + V(2x+3) V- корень

Answer 1

Интерпритируем: V(6x+1) + V(4x+2) = V(8x) + V(2x+3)
               $\sqrt{6x+1} + \sqrt{4x+2} = \sqrt{8x} + \sqrt{2x+3} \ ;$

Находим ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{l} 6x + 1 \geq 0 \ , \\ 4x + 2 \geq 0 \ , \\ 8x \geq 0 \ , \\ 2x + 3 \geq 0 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} 6x \geq -1 \ , \\ 4x \geq -2 \ , \\ 8x \geq 0 \ , \\ 2x \geq -3 \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} x \geq -\frac{1}{6} \ , \\\\ x \geq -\frac{1}{2} \ , \\\\ x \geq 0 \ , \\\\ x \geq -1.5 \ ; \end{array}\right$

$x \geq 0 \ ;$


Решаем уравнение. Возводим обе части в квадрат:

$( \sqrt{6x+1} + \sqrt{4x+2} )^2 = ( \sqrt{8x} + \sqrt{2x+3} )^2 \ ;$


$( \sqrt{6x+1} )^2 + 2 \cdot \sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} + ( \sqrt{4x+2} )^2 = \\\\ = ( \sqrt{8x} )^2 + 2 \cdot \sqrt{8x}\cdot \sqrt{2x+3} + ( \sqrt{2x+3} )^2 \ ;$


$6x + 1 + 2 \cdot \sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} + 4x + 2 = 8x + 2 \cdot \sqrt{8x} \cdot \sqrt{2x+3} + 2x + 3 \ ;$

$10x + 3 + 2 \cdot \sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} = 10x + 3 + 2 \cdot \sqrt{8x} \cdot \sqrt{2x+3} \ ;$

$2 \cdot \sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} = 2 \cdot \sqrt{8x} \cdot \sqrt{2x+3} \ ;$

$\sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} = \sqrt{8x} \cdot \sqrt{2x+3} \ ;$


Снова возводим обе части в квадрат:

$( \sqrt{6x+1} \cdot \sqrt{4x+2} )^2 = ( \sqrt{8x} \cdot \sqrt{2x+3} )^2 \ ;$

$( \sqrt{6x+1} )^2 \cdot ( \sqrt{4x+2} )^2 = ( \sqrt{8x} )^2 \cdot ( \sqrt{2x+3} )^2 \ ;$

$(6x+1)(4x+2) = 8x(2x+3) \ ;$

$24x^2 + 12x + 4x + 2 = 16x^2 + 24x \ ;$

$8x^2 - 8x + 2 = 0 \ ;$

$4x^2 - 4x + 1 = 0 \ ;$

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 0 \ ;$

$( 2x - 1 )^2 = 0 \ ;$

$2x - 1 = 0 \ ;$

$2x = 1 \ ;$

$x = \frac{1}{2} = 0.5 > 0$   –   входит в ОДЗ.



О т в е т : x = 0.5 .