D(f)-область определения.
1) ![f(x)=4x^3-9x^2-12x+5\\D(f): R.\\f'(x)=12x^2-18x-12=6(2x^2-3x-2);D=9+16=5^2\\f'(x)=12(x+0.5)(x-2)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D4x%5E3-9x%5E2-12x%2B5%5C%5CD%28f%29%3A+R.%5C%5Cf%27%28x%29%3D12x%5E2-18x-12%3D6%282x%5E2-3x-2%29%3BD%3D9%2B16%3D5%5E2%5C%5Cf%27%28x%29%3D12%28x%2B0.5%29%28x-2%29)
Воспользуемся методом интервалов для определения промежутков знакопостоянства выражения f'(x)
f(x) Возрастает на (-∞;-0.5)∪(2;+∞)
Убывает на (-0.5;2)
2) ![g(x)=x^5+3x^3+x-17\\D(g): R.\\g'(x)=5x^4+9x^2+1](https://tex.z-dn.net/?f=g%28x%29%3Dx%5E5%2B3x%5E3%2Bx-17%5C%5CD%28g%29%3A+R.%5C%5Cg%27%28x%29%3D5x%5E4%2B9x%5E2%2B1)
Переменная в чётной степени всегда даст не отрицательное число и выражение состоит из слагаемых, значит производная всегда положительная. И g(x) Возраста на всей области определения, то есть на (-∞;+∞)
3) ![fi(x) =-4x-x^7\\D(fi): R.\\fi'(x)=-7x^6-4](https://tex.z-dn.net/?f=fi%28x%29+%3D-4x-x%5E7%5C%5CD%28fi%29%3A+R.%5C%5Cfi%27%28x%29%3D-7x%5E6-4)
Тут наоборот производная всегда отрицательная, то есть fi(x) убывает на (-∞;+∞)
4) ![\psi(x)=x+\frac{25}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpsi%28x%29%3Dx%2B%5Cfrac%7B25%7D%7Bx%7D)
D(ψ): (-∞;0)∪(0;+∞)
![\psi'(x)=\frac{0*x-1*25}{x^2} +1=1-(\frac{5}{x})^2=-(\frac{5}{x}-1)(\frac{5}{x}+1)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpsi%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B0%2Ax-1%2A25%7D%7Bx%5E2%7D+%2B1%3D1-%28%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D%29%5E2%3D-%28%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D-1%29%28%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D%2B1%29)
ψ(x) Возрастает на (-∞;-5)∪(5;+∞)
Убывает на (-5;0)∪(0:5)