Задача. Чему равен внутренний объем эллипсоподобного мяча для регби?
Мяч имеет в длину 285 мм. Размер в обхвате в максимальном поперечном сечении 580 мм. Суммарная толщина оболочки и камеры 2 мм.
2 ответа:
Задача решена верно Рафаилом, методом расчета объема тел вращения, но все таки хочу представить его решение с возможностью легкой подстановки любых значений. А также попробовать рассчитать объем эллипсоида методом суммирования площади сечений.
Уравнение эллипса выглядит следующим образом:
Где "а" и "в" половины от главных осей эллипса.
В классическом варианте уравнение будет иметь следующий вид:
Объем тела вращения вычисляется по следующей формуле:
Учитывая тот факт, что корень и квадрат сократятся, интеграл примет следующий вид:
Величина "а" будет равна половине длины мяча минус толщина изделия (2 мм).
Величина "в" равна половине диаметра мяча минус толщина изделия.
Окончательно получим:
Интегральчик получился не сложный, попробуем его взять.
Да, именно на такой формуле настаивает Википедия. И ответы совпали.
Теперь рассчитаем объем методом суммирования площадей сечений.
Любое горизонтальное сечение эллипсоида, параллельное главной оси, будет представлять из себя тоже эллипс. Сложив бесконечно большое количество площадей этих сечений, мы получим объем эллипсоида.
Пусть сечение будет представлять из себя эллипс:
Тогда его площадь вычислится по формуле:
Остается понять как будут изменяться n и m в зависимости от положения секущей плоскости (f).
На рисунке:
Синий цвет - сечение эллипсоида вдоль большой оси
Зеленый цвет - сечение эллипсоида вдоль малой оси
Горизонтальная линия - текущее сечение
Красный цвет - форма сечение
Оранжевый цвет - глубина заполнения объема или положение секущей плоскости
Очевидно, для того чтобы найти n и m нужно решить две системы уравнений
Где l есть положение секущей плоскости в системе координат эллипса. И она равна:
Где f положение секущей плоскости относительно низа эллипсоида.
Значение X и будет n
Аналогично решаем систему:
Получаем:
Остается подставить эти значения в интеграл, заменив l на интегрируемую переменную Y.
В результате можно не только высчитать полный объем эллипсоида, но и объем частичного заполнения.
Читайте также
Автором является Владимир Игоревич Арнольд . Задача впервые была сформулирована в 1956 году.
В общем виде формулировка такая
впрочем задача эта имеет и другое название "задача о салфетке Маргулиса", хотя Маргулис ещё был школьником, когда Владимир Игоревич формулировал свою задачу, но с 1991 года оказался на ПМЖ в США, и там задача приобрела известность под именем совсем даже не изначального автора.
Решение задачи неоднозначно, предлагались многие частные варианты. Считается, что наиболее полное решение было предложено Алексеем Тарасовым
Но при этом идёт оговорка, что решение чисто теоретическое, так как "рубль" нужно свернуть в 16 раз, а на практике сворачивать бумажку более, чем в восемь раз не получается.