А₁+а₂+а₃+а₄+а₅+а₆+а₇+а₈=?
а₁+а₁+d+a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d+a₁+5d+a₁+6d+a₁+7d=?
8а₁+28d=?
а₄+а₅=16
а₁+3d + a₁+4d = 16
2a₁ +7d =16|*4
8a₁ +28d = 64
Ответ:64
Ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ
НОК делится на НОД, так как НОК включает в себя максимальные степени чисел в разложении на простые множители, а НОД — минимальные. То есть вся левая часть делится на НОД. Тогда и правая часть должна делиться на НОД. a⋮НОД(a; b), b⋮НОД(a; b) ⇒ 2⋮НОД(a; b) ⇒ НОД(a; b) = 1 или 2.
<u>Если НОД(a; b) = 1</u>, то есть числа взаимно просты, то НОК(a; b) = ab. Получаем
![1+ab=a+b+2\\ab-b=a+1\\b(a-1)=a+1](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Bab%3Da%2Bb%2B2%5C%5Cab-b%3Da%2B1%5C%5Cb%28a-1%29%3Da%2B1)
При a = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на <em>a-1</em>:
![b=\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a-1+2}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}\Rightarrow a=2;~3\Rightarrow b=3;~2](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D%5Cdfrac%7Ba%2B1%7D%7Ba-1%7D%3D%5Cdfrac%7Ba-1%2B2%7D%7Ba-1%7D%3D1%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7Ba-1%7D%5CRightarrow%20a%3D2%3B~3%5CRightarrow%20b%3D3%3B~2)
Получаем решения (2; 3), (3; 2).
<u>Если НОД(a; b) = 2</u>, то пусть a = 2k, b = 2m, где k и m — взаимно простые числа. Тогда
НОД(2k; 2m) + НОК(2k; 2m) = 2k + 2m + 2
2НОД(k; m) + 2НОК(k; m) = 2k + 2m + 2
![1 + km = k + m + 1\\km = k + m\\km-k=m\\k(m-1)=m](https://tex.z-dn.net/?f=1%20%2B%20km%20%3D%20k%20%2B%20m%20%2B%201%5C%5Ckm%20%3D%20k%20%2B%20m%5C%5Ckm-k%3Dm%5C%5Ck%28m-1%29%3Dm)
При m = 1 равенство не выполняется, значит, можем поделить на <em>m-1</em>:
![k=\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{m-1+1}{m-1}=1+\dfrac{1}{m-1}\Rightarrow m=2\Rightarrow k=2](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bm-1%7D%3D%5Cdfrac%7Bm-1%2B1%7D%7Bm-1%7D%3D1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bm-1%7D%5CRightarrow%20m%3D2%5CRightarrow%20k%3D2)
Но k и m — взаимно простые числа. Значит, в данном случае решений нет.
Ответ: (2; 3), (3; 2)
Необходимо число 203 разделить на два множителя:
29*7=203
Ответ: 29 учеников приобрели по 7 книг.
Это треугольник. Наименьшее число сторон в многоугольнике равно трем. Многоугольника с двумя сторонами уже не существует.