Краткий ответ:<span>
![y=2x^4-2x^2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2x%5E4-2x%5E2)
</span><span>
![y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%282x%5E4-2x%5E2%29%27%3D8x%5E3-4x)
</span><span>
![8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqr<strong></strong>t{2}](https://tex.z-dn.net/?f=8x%5E3-4x%3D0+%5C%5C+x%288x%5E2-4%29%3D0+%5C%5C+x_%7B1%7D%3D0%3B+%5C%5C+8x%5E2-4%3D0+%5C%5C+8x%5E2%3D4+%5C%5C+x%5E2%3D1%2F2+%5C%5C+x_%7B2%7D%3D1%2F+%5Csqrt%7B2%7D+%5C%5C+x_%7B3%7D%3D-1%2F+%5Csqr%3Cstrong%3E%EF%BB%BF%3C%2Fstrong%3E%EF%BB%BFt%7B2%7D+)
</span>
![1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+y%280%29%3D2%2A+0%5E%7B4%7D+-2%2A0%5E%7B2%7D%3D0+%5C%5C+2%29+y%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29%3D2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+-2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5C%5C+3%29+y%28+-%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29%3D2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+-2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
<span>Ответ:
![0; - \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0%3B+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
.</span>
Развернутый ответ:![y=2x^4-2x^2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2x%5E4-2x%5E2)
Экстремумы функции - значение функции в точках экстремума (в точках минимума и максимума).
Найдем производную данной функции:
![y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%282x%5E4-2x%5E2%29%27%3D8x%5E3-4x)
Найдем критические точки (критические точки - точки, в которых производна функции равна нулю или не существует). Для этого приравняем значение производной к 0:
![8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=8x%5E3-4x%3D0+%5C%5C+%0Ax%288x%5E2-4%29%3D0+%5C%5C+x_%7B1%7D%3D0%3B+%5C%5C+%0A8x%5E2-4%3D0++%5C%5C+%0A8x%5E2%3D4+%5C%5C+%0Ax%5E2%3D1%2F2+%5C%5C+x_%7B2%7D%3D1%2F+%5Csqrt%7B2%7D+%5C%5C+x_%7B3%7D%3D-1%2F+%5Csqrt%7B2%7D+)
Отметим данные значения на числовой прямой (см. рис).
Найдем значение производной на каждом из промежутков, чтобы определить поведение функции (убывает или возрастает). Если производная y'>0, то функция возрастает; если производная <span>y'<0, то функция убывает.
Для примера рассмотрим промежуток от </span>
![1/ \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2F+%5Csqrt%7B2%7D+)
до +<span>∞.
Возьмем любое число из этого промежутка. К примеру, 1.
</span>
![y'(1)=8*1^{3} -4*1=8-4=4\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%281%29%3D8%2A1%5E%7B3%7D+-4%2A1%3D8-4%3D4%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
, значит, функция возрастает на данном промежутке.
Аналогичным способом определяем поведения функции на других промежутках.
Поскольку при переходе через точку
![x=\frac{1}{ \sqrt{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D)
производная изменяет знак с "-" на "+", то эта точка является точкой минимума; при переходе через точку
![x=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D0)
производная изменяет знак с "+" на "-", поэтому эта точка является точкой максимума; при переходе через точку
![x=- \frac{1}{ \sqrt{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+)
производная изменяет знак с "-" на "+", поэтому эта точка является точкой минимума.
Имеем 3 точки экстремума:
![0, \frac{1}{ \sqrt{2} } , -\frac{1}{ \sqrt{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=0%2C+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%2C+-%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+)
Найдем значение функции в точках экстремума, то есть найдем экстремумы функции:
![1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+y%280%29%3D2%2A+0%5E%7B4%7D+-2%2A0%5E%7B2%7D%3D0++%5C%5C+%0A2%29+y%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29%3D2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+-2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5C%5C+%0A3%29+y%28+-%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29%3D2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+-2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
Ответ:
![0; - \frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0%3B+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
.