Question

Решите, пожалуйста: 1) |cos(x)-sin(x)|=cos(2*x) 2) 4*|cos(x)-sin(x)|=sin(2*x)

Answer 1

Пример 1.
|cos(x)-sin(x)|=cos(2*x)
Возведем обе части в квадрат, так как левая неотрицательна.
cos²(x)-2sin(x)cos(x)+sin²(x)=cos²(2x)
1-sin(2x)=1-sin²(2x)
sin²(2x)=sin(2x)
Отсюда получим совокупность уравнений:
1) sin(2x)=0
2x=πn, n∈Z
x=πn/2
2) sin(2x)=1
2x=π/2+2πk, k∈Z
x=π/4+πk
Ответ: πn/2, π/4+πk, n∈Z, k∈Z
Пример 2.
4*|cos(x)-sin(x)|=sin(2*x)
Возведем обе части в квадрат
16(cos²(x)-2sin(x)cos(x)+sin²(x))=sin²(2x)
16(1-sin(2x))=sin²(2x)
sin²(2x)+16sin(2x)-16=0
Пусть sin(2x)=t, тогда
t²+16t-16=0
D=16²-4*(-16)=16*(16+4)=(8√5)²
t1,2 = (-16+-8√5)/2=-8+-4√5
t1 = -8-4√5 - не входит в область значений sin(2x)
t2 = -8+4√5 - проверим этот корень
Предположим, что он входит в область значений, то есть -1<=-8+4√5<=1
7<=4√5<=9
7²<=(4√5)²<=9²
49<=80<=81 - верно
Значит, корень t2 действительно входит в область значений синуса.
Тогда вернемся к исходной переменной.
sin(2x)=4√5-8
2x=(-1)^n*arcsin(4√5-8)+πn,
x=(-1)^n*arcsin(4√5-8)/2+πn/2, n∈Z
Ответ: (-1)^n*arcsin(4√5-8)/2+πn/2, n∈Z