Question

Нужно сравните числа.

Answer 1

Для начала заметим что числа а и в положительны, т.к. являются квадратами ctg.

Чтобы сравнить два положительных числа оценим их разность а-в

если а-в>0, то а>в

если а-в<0, то а<в

если а-в=0, то а=в

Что нам понадобится:

формула разности и суммы ctg

$\displaystyle ctgx-ctgy=-\frac{sin(x-y)}{sinx*siny}\\\\ctgx+ctgy=\frac{sin(x+y)}{sinx*siny}$

так же сумма и разность логарифмов (формула в общем виде)

$\displaystyle log_nm+log_nk=log_n(m*k)\\\\log_nm-log_nk=log_n\frac{m}{k}$

теперь для упрощения преобразований я введу два угла

$\displaystyle x=lg(2+\sqrt{3}); y=lg(2-\sqrt{3})$

теперь решение

$\displaystyle a-b=ctg^2x-ctg^2y=(ctgx-ctgy)(ctgx+ctgy)=\\\\=-\frac{sin(x-y)}{sinx*siny}*\frac{sin(x+y)}{sinx*siny}=-\frac{sin(x-y)*sin(x+y)}{sin^2x*sin^2y}$

заметим что в знаменателе стоят положительные числа не равные нулю

вычислим синус разности и суммы углов

$\displaystyle sin(x-y)=sin(lg(2+\sqrt{3})-lg(2-\sqrt{3}))=sin(lg\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}})=\\\\=sin(lg(\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}))=sin(lg(2+\sqrt{3})^2)\\\\sin(x+y)=sin(lg(2+\sqrt{3})+lg(2-\sqrt{3}))=sin(lg(2^2-\sqrt{3}^2)=\\\\=sin(lg(4-3))=sin(lg1)=sin0=0$

подставим в нашу разность чисел

$\displaystyle a-b=-\frac{sin(x-y)*sin(x+y)}{sin^2x*sin^2y}=-\frac{sin(lg(2+\sqrt{3})^2)*0}{sin^2(lg(2+\sqrt{3}))*sin^2(lg(2-\sqrt{3}))}=0$

Разность равна нулю, значит данные числа равны!

****************

можно проще

рассмотрим число а

$\displaystyle a=ctg^2(lg(2+\sqrt{3}))=ctg^2(lg\frac{(2+\sqrt{3})*(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}))=ctg^2(lg(\frac{1}{2-\sqrt{3}}))=\\\\=ctg^2(lg(2-\sqrt{3})^{-1})=(ctg(-lg(2-\sqrt{3}))^2=(-ctg(lg(2-\sqrt{3}))^2=\\\\=ctg^2(lg(2-\sqrt{3}))=b$

числа а и в равны