Question

Исследовать функцию и построить ее график: у=х/х*2+5

Answer 1

ДАНО
Y = X/(X²+5)
ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. 

Нет деления на 0. Вертикальных асимптот- нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = ?. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞ 

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -x/(х²+5)= -Y(x).

Функция нечётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= -\frac{2x^2}{(x^2+5)^2}+ \frac{1}{x^2+5}$

Корни при Х= +/- √5 ≈ +/- 2.23. 

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(√5) ≈ 0.22, 

Минимум – Ymin(-√5)=- 0,22. 

Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈(-√5;√5) , убывает = Х∈(-∞;-√5)∪ (√5;+∞). 

9. Вторая производная - Y"(x.

$Y"(x)= \frac{2x}{(x^2+5)^2}* (\frac{4x^2}{x^2+5} -3)$ 

Корень производной - точки перегиба: х1,2 = +/-√15 ≈ 3,8, х3 = 0

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-3,8)∪(3,8;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-3,8;3,8).

10. Горизонтальная асимптота - limY(x)/x)  = 0

11. График в приложении.