Примем длину рёбер основания и высоту пирамиды равными 1.
А) Необходимым и достаточным условием скрещивающихся прямых является неравенство:
![\left[\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\m_1&n_1&p_1\\m_2&n_2&p_2\end{array}\right] \neq 0.](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx_2-x_1%26y_2-y_1%26z_2-z_1%5C%5Cm_1%26n_1%26p_1%5C%5Cm_2%26n_2%26p_2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%20%5Cneq%200.)
Найдём координаты необходимых точек.
Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром АВ по оси ОХ, ребром ВС по оси ОУ.
Точка О находится на апофеме грани ВРС, её проекция - на перпендикуляре из точки Н на ребро ВС. на расстоянии (1/2)*(1/3) от ВС.
А(1;0;0), О((1/6);0,5;(1/3)), вектор АО((-5/6);0,5;(1/3)).
Р(0,5;0,5;1), Н(0,5;0,5;0), вектор РН(0;0;-1).
За точку 1 примем точку А, за точку 2 - точку Р.
Составляем матрицу:
![\left[\begin{array}{ccc}-0,5&0,5&1\\-5/6&0,5&1/3\\0&0&-1\end{array}\right] =-1/6.](https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-0%2C5%260%2C5%261%5C%5C-5%2F6%260%2C5%261%2F3%5C%5C0%260%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D-1%2F6.)
Так как определитель матрицы не равен нулю, то прямые не пересекаются, они скрещивающиеся.
В) Находим угол <span>между прямыми РН и АО.
</span>
![cos \alpha = \frac{ \frac{-5}{6}*0+0.5*0+ \frac{1}{3}*(-1) }{ \sqrt{( \frac{-5}{6})^2+0.5^2+( \frac{1}{3})^2 }* \sqrt{0+0+1} } = \frac{|-0,33333|}{1,0274} =0,3244.](https://tex.z-dn.net/?f=cos%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B-5%7D%7B6%7D%2A0%2B0.5%2A0%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2A%28-1%29%20%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B%28%20%5Cfrac%7B-5%7D%7B6%7D%29%5E2%2B0.5%5E2%2B%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%5E2%20%20%7D%2A%20%5Csqrt%7B0%2B0%2B1%7D%20%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7C-0%2C33333%7C%7D%7B1%2C0274%7D%20%3D0%2C3244.)
Такому косинусу соответствует угол <span>1,2404 радиан или </span><span><span><span>71,0682</span></span></span>°.