Question

Две высоты треугольника равны 5 и 10. найдите сумму целочисленных значений для третьей высоты

Answer 1

     Положим что высоты опущены на стороны  $BC;AC$   соответственно $AN;BH$    $10;5$ 
        Тогда $10BC=5AC=AB*H$   $H$ третья высота 
 По неравенству треугольников         $BC+AC>AB\\ AC+AB>BC\\ AB+BC>AC$    
 $AB<AC+\frac{AC}{2}$
 $BC<\frac{AB(H+5)}{5}$ 
 $AC<\frac{AB(H+10)}{10}$ 
 откуда 
  $\frac{20}{30}<\frac{6H}{30} \leq \frac{3(H+10)}{30}\\ H \in ( \frac{10}{3};10)$ 
   сумма   $4+5+6+7+8+9=39$