Пошаговое объяснение:
ДАНО: y(x) = x²*(x-1)²
Преобразуем формулу к полному виду.
y(x) = x²*(x²-2*x+1) = x⁴ - 2*x³ + x² - функция.
1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.
D(x) = (-∞;+∞)
2. Нули функции: х₁ = 0 и х₃ = 1 - пересечение с осью ОХ.
3. Пересечение с осью ОУ : y(0) = 1.
4. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y>0 X∈(-∞;0)∪(0;1)∪(1;+∞)
Отрицательна: Y<0 - нет.
4. Поиск экстремумов по первой производная функции .
Y'(x) = 4*х³ - 6*х² + 2*х = 2*х*(2*x² - 3*x + 1) = 0
Точки экстремумов: x₅ = 0, x₆ = 0.5 , x₇ = 1
5 Локальные экстремумы:
Ymin(0) = Y(1) = 0
Ymax(0.5) = 0.0625
6. Интервалы монотонности.
Убывает: Х∈(-∞;0)∪(0.5;1) Возрастает: Х∈(0;0.5)∪(1;+∞)
7, Поиск точек перегиба по второй производной
Y"(x) = 12*x² - 12*x + 2 = 0
x₈ = 0.21 и х₉ = 0.79 - точки перегиба.
8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0.21)∪(0.79;+∞)
Выпуклая - "горка" - Х∈(0.21;0.79)
График на рисунке в приложении. Графики производных - излишние.
А вот на дополнительном рисунке с графиком такой же функции представлено описание поведения графика.