![f(x)= \sqrt{3}x-3 \sqrt{x} + \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%20%5Csqrt%7B3%7Dx-3%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20)
Находим область определения функции
![D(f)=[0;](https://tex.z-dn.net/?f=D%28f%29%3D%5B0%3B)
+∞).
Находим производную функции
![f'= \sqrt{3}- \frac{3}{2 \sqrt{x} } = \frac{2 \sqrt{3x}-3 }{2 \sqrt{x} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%3D%20%5Csqrt%7B3%7D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B3x%7D-3%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20)
.
![f'=0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%3D0)
при
![2 \sqrt{3x} -3=0, x \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=2%20%5Csqrt%7B3x%7D%20-3%3D0%2C%20%20%20x%20%5Cneq%200)
, откуда
![\sqrt{3x}= \frac{3}{2}, 3x= \frac{9}{4}, x= \frac{3}{4} , x=0,75](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B3x%7D%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C%20%20%203x%3D%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%2C%20%20%20x%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%20%2C%20%20x%3D0%2C75%20%20)
.
Рисуем числовую прямую, отмечаем точки 0 и 0,75, выделяем дугами интервалы от 0 до 0,75 и правее 0,75.
Находим знаки производной на интервалах:
![f'( \frac{1}{4} )= \frac{2 \sqrt{ \frac{3}{4} }-3 }{2 \sqrt{ \frac{1}{4} } }= \sqrt{3}-3\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%29%3D%20%20%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%7D-3%20%7D%7B2%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%7D%20%7D%3D%20%5Csqrt%7B3%7D-3%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%20)
![f'(1)= \frac{2 \sqrt{3}-3 }{2} \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%281%29%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Csqrt%7B3%7D-3%20%7D%7B2%7D%20%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200)
.
Так как при переходе через точку
![x=0,75](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D0%2C75)
производная поменяла знак с минуса на плюс, то
![x=0,75](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D0%2C75)
- точка минимума.
Ответ: 0,75.