Учись! Учись! И еще раз учись.....это простейшее в геометрии!
Если даны только три стороны треугольника, то для начала определимся с типом треугольника по теореме о неравенстве треугольника.
Пусть a=7, b=17 и с=8√2.
В нашем случае 17²>7²+(8√2)², следовательно треугольник тупоугольный с тупым углом В.
Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника p=12+4√2.
S=√[(12+4√2)(5+4√2)(4√2-5)(12-4√2)] = √[(12²-(4√2)²)((4√2)²-5²)] =28 ед².
С другой стороны, S=(1/2)*a*b*Sin(a^b). Отсюда
Sin(<C)=2S/(a*b)=56/(7*17)≈0,47. <C=arcSin0,47≈28°.
А вот теперь уже можно и по теореме синусов:
с/SinC= a/SinA = b/Sinb.
SinA=a*SinC/c = 7*0,47/(8√2)≈0,29. <A=arcSin0,29≈17°.
SinB=b*SinC/c = 17*0,47/(8√2) ≈ 0,7. <B=arcSin0,7≈45° = 135° (так как
Sin(180°-a)=Sina, а по сумме углов треугольника <B - тупой).
Но можно и так:
Sin(<А)=2S/(b*с)=56/(17*(8√2)=≈0,29. <А=arcSin(0,29)=17°.
Sin(<В)=2S/(a*с)=56/(7*(8√2). <B=arcSin√2/2=45°=135°. И так как треугольник тупоугольный, <В=135°.
Ответ: <A=17°, <B=135° и <C=28°.
![S_{ABC}=S;\,\,\,\, \angle B=\beta](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3DS%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+%5Cangle+B%3D%5Cbeta)
Катет ВС - прилеглий катет до кута β
Площа прямокутника дорівнює половині добутку двох катетів, тобто
![S= \dfrac{AC\cdot BC}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cdfrac%7BAC%5Ccdot+BC%7D%7B2%7D+)
Тангенс - відношення протилежного катета до прилеглого.
![tg \beta = \frac{AC}{BC}](https://tex.z-dn.net/?f=tg+%5Cbeta+%3D+%5Cfrac%7BAC%7D%7BBC%7D+)
звідси
![AC=BC\,\, tg \beta](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3DBC%5C%2C%5C%2C+tg+%5Cbeta+)
Підставимо в площу трикутника
![S= \dfrac{BC\,\, tg \beta\cdot BC}{2}= \dfrac{BC^2\,\, tg \beta}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D+%5Cdfrac%7BBC%5C%2C%5C%2C+tg+%5Cbeta%5Ccdot+BC%7D%7B2%7D%3D+%5Cdfrac%7BBC%5E2%5C%2C%5C%2C+tg+%5Cbeta%7D%7B2%7D+)
Виразимо ВС
![BC^2 =\dfrac{2S}{tg \beta }](https://tex.z-dn.net/?f=BC%5E2+%3D%5Cdfrac%7B2S%7D%7Btg+%5Cbeta+%7D+)
звідси
![BC= \sqrt{\dfrac{2S}{tg \beta }}](https://tex.z-dn.net/?f=BC%3D+%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2S%7D%7Btg+%5Cbeta+%7D%7D+)
Відповідь:
![\sqrt{\dfrac{2S}{tg \beta }}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2S%7D%7Btg+%5Cbeta+%7D%7D)
РЕШЕНИЕ
1) Не дана высота СН
2) S= a*b*sin45 = 2*10* √2/2 = 10√2 - ОТВЕТ
3) S = a*b* sinA
sinA = √(1-cos²A) = √(1-0.36) = 0,8
S = 7*12*0.8 = 67.2 - ОТВЕТ
4) а= 6 и = 6+5 = 11
S = 6*11/2 = 33 - ОТВЕТ
5) Дано: a= 10 c = 26
b² = 26² - 10² = 676-100=576
b = √576 = 24
S = 1/2* a*b = 10*24/2 = 120 - ОТВЕТ
Есть подобный треугольник, который подсказывает соотношение катетов
х/60=2/3
х=60/3/2=40
Расстояние от причала до острова 40м