Решение
<span>В
кубе ABCDA1B1C1D1 </span><span>найдите синус угла между
прямой AB и плоскостью CB1D1
решение во вкладыше
</span>
Так как АВ // D1 C1 ,
угол между прямой АВ и плоскостью СB1D<span> равен углу между прямой </span>D1C1
и плоскостью СB1D<span>. <span>По теореме о трёх перпендикулярах прямая </span></span>AC1 перпендикулярна прямой B1D1, ак как
ортогональная проекция A1C1 наклонной AC1 <span> <span>на
плоскость </span></span>A1B1C1D1<span> перпендикулярна прямой </span>B1D1<span>, лежащей в этой
плоскости. Аналогично </span>AC1 перпендикулярна CB1. <span>Так как прямая</span><span> AC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости </span>СB1D1<span>,
<span>эта прямая перпендикулярна
плоскости </span>С</span>B1D1. <span>
</span>Пусть<span> O<span>1 </span> центр
грани A1B1C1D1. Рассмотрим прямоугольник AA1C1C.
Точка O1 - середина его стороны B1D1, а точка M
пересечения AC1 и
CO1 - это точка пересечения диагонали AC1 с
плоскостью CB1D<span>1.
</span> Из подобия треугольников C1MO1 и AMC
<span>по второму признаку:
< </span>C1M</span>D1 = <<span> AMC</span><span> как
вертикальные и <</span> C1AC = < A<span>1C1</span>B1
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и А1<span>С1) следует, что</span><span>
C1M
/ </span>MA= C1O1
/ AC<span> = 1 : 2<span>
Таким образом,</span> C1M - перпендикуляр к плоскости CB1D1, <span>причём,
если ребро куба равно</span> a, то C1M = (1/3) </span>AC1 = (1/3)a<span>√3,
а </span>D1M<span> - ортогональная проекция наклонной C1D<span>1 </span> на эту плоскость. Поэтому <</span>C1D1M<span> - искомый угол прямой C1D1 (а
значит, и AB) с плоскостью CB1D<span>1.
</span>Из прямоугольного треугольника C1MD<span>1 </span><span>находим,
что
</span></span>Sin<C1D1M = C1M / C1D1 = [(1/3)a√3] / a = √3 / 3.
<span> </span>
