Question

Вероятность попадания в цель первым стрелком равна p1
а вторым стрелком—р2. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?

Answer 1

Рассмотрим события: А₁ - "первый попадет", A₂ - "второй попадет", B₁ - "первый не попадет", В₂ - "второй не попадет"

По условию:

$P(A_1)=p_1\\P(A_2)=p_2$

События B₁ и В₂ противоположны по отношению к соответствующим событиям А₁ и A₂. Значит:

$P(B_1)=1-P(A_1)=1-p_1\\P(B_2)=1-P(A_2)=1-p_2$

Для события E "один попадет в цель, а другой не попадет" есть два исхода:

С: "первый попадет, а второй не попадет"

D: "первый не попадет, а второй попадет"

Эти события несовместны (то есть не могут произойти одновременно), значит их вероятности будут складываться при определении общей вероятности.

Для события С должны выполниться два независимых события А₁ и В₂. Для события D должны выполниться два независимых события B₁ и A₂. Вероятности независимых событий перемножаются.

Искомая вероятность:

$P(E)=P(C)+P(D)=P(A_1)\cdot P(B_2)+P(B_1)\cdot p(A_2)\\P(E)=p_1(1-p_2)+p_2(1-p_1)=p_1-p_1p_2+p_2-p_1p_2=p_1+p_2-2p_1p_2$